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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 115

Um experimento é projetado para estudar a convecção forçada em microescala. Água, a T m , e n t = 300 K, deve ser aquecida em um tubo de vidro circular e reto com 50 μm de diâmetro interno e espessura de parede de 1 mm. Água morna, a T ∞ = 350 K e com V = 2 m/s, escoa em escoamento cruzado sobre a superfície externa do tubo. O experimento é projetado para cobrir a faixa operacional 1 ≤ R e D ≤ 2000, sendo R e D o número de Reynolds associado ao escoamento interno.

(a) Determine o comprimento do tubo L que satisfaz a uma exigência de projeto de que o tubo seja duas vezes mais longo do que o comprimento de entrada associado ao maior número de Reynolds de interesse. Estime as propriedades da água a 305 K.

(b) Determine a temperatura de saída da água, T m , s a i , que se espera esteja associada a R e D = 2000. Estime as propriedades da água de aquecimento (água em escoamento cruzado sobre o tubo) a 330 K.

(c) Calcule a queda de pressão da entrada até a saída do tubo para R e D = 2000.

(d) Com base na vazão mássica e na queda de pressão no tubo calculadas, estime a altura de uma coluna de água (a 300 K) necessária para suprir a pressão necessária na entrada do tubo e o tempo necessário para coletar 0,1 litro de água. Discuta como a temperatura de saída da água que escoa pelo tubo, T m , s a i , pode ser medida.

Passo 1

Beleza! Para a letra (a), nós vamos começar pegando as propriedades da água a 305 K lá da tabela A.6 do apêndice A, então teremos:

c p = 4178   k J / k g . K

P r = 5,2

k = 0 , 62   W / m . K

μ = 769.10 - 6   N . s / m 2

ρ = 995   k g / m 3

Vamos começar calculando o comprimento de entrada fluidodinâmica através da equação 8.3 vista nesse capítulo, então temos:

x c d , v P r D l a m = 0,05 R e D

Como nosso Reynolds é de 2000, ou seja, temos escoamento laminar, então podemos utilizar a equação acima. Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

x c d , v 5,2 50.10 - 6 = 0,05 2000 → x c d , v = 0,026   m

Então, o comprimento do tubo sendo duas vezes maior que o de entrada, teremos então:

L = 2 x c d , v = 2 0,026 → L = 0,052   m

Passo 2

Antes de começar a letra (b), precisamos pegar as propriedades da água a 330 K lá na tabela A.6, então, teremos:

c p = 4194   k J / k g . K

P r = 3,15

k = 0 , 65   W / m . K

μ = 489 . 10 - 6   N . s / m 2

ρ = 984   k g / m 3

Agora para a letra (b), para determinar a temperatura de saída da água, vamos utilizar a equação 8.45a, dada por:

Δ T s a i Δ T e n t = T ∞ - T m , s a i T ∞ - T m , e n t = exp ⁡ - U - A s m ˙ c p

Para calcular a resistência global, sabendo que temos convecção interna, depois condução e depois convecção externa, dessa forma, podemos escrever a resistência global como:

U - = 1 1 h i n t + d 2 k v ln ⁡ d 2 + t d 2 + d 2 d 2 + t . 1 h e x t

Vamos aproveitar e pegar o coeficiente de condutividade do vidro na tabela A.3, onde temos:

k v = 1,4   W / m . K

Então precisamos calcular os coeficientes convectivos interno e externo. Começando com o coeficiente convectivo interno, podemos utilizar a equação 8.57 vista nesse capítulo, para escoamento interno, onde teremos:

N u D = 3,66 + 0,0668 G z D 1 + 0,04 G z D 2 3

Onde temos G z D dado pela equação 8.56:

G z D = D x R e D P r

Substituindo os valores conhecidos nessa expressão, chegamos em:

G z D = 50.10 - 6 52.10 - 3 2000 5,3 → G z D = 10,192

E, substituindo esse valor na expressão para Nusselt, temos:

N u D = 3,66 + 0,0668 10,192 1 + 0,04 10,192 2 3 → N u D = 4,23

E, sabendo que o coeficiente convectivo se relaciona com Nusselt através da seguinte relação:

h = k N u D D

Substituindo os valores conhecidos, temos:

h = 0,62 4,23 50.10 - 6 → h i n t = 52490   W / m 2 . K

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente convectivo externo, agora precisamos calcular o número de Reynolds para o escoamento externo, onde teremos:

R e D = ρ V D μ = 984 2 50.10 - 6 + 2 ( 1.10 - 3 ) 489.10 - 6 → R e D = 8250,3

Então agora podemos utilizar a correlação dada pela equação 7.54 para escoamento externo, onde temos:

N u D = 0,3 + 0,62 R e D 1 2 P r 1 3 1 + 0,4 P r 2 3 1 4 1 + R e D 282000 5 8 4 5

Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

N u D = 0,3 + 0,62 8250,3 1 2 ( 3,15 ) 1 3 1 + 0,4 3,15 2 3 1 4 1 + 8250,3 282000 5 8 4 5 → N u D = 84,98

Então, através da relação entre o coeficiente convectivo e o número de Nusselt, temos:

h = k N u D D = 0,65 84,98 50.10 - 6 + 2 1.10 - 3 → h e x t = 26945   W / m 2 . K

Então, a resistência global será:

U - = 1 1 h i n t + d 2 k v ln ⁡ d 2 + t d 2 + d 2 d 2 + t . 1 h e x t

U - = 1 1 52490 + 50.10 - 6 2 1,4 ln ⁡ 50.10 - 6 2 + 1.10 - 3 50.10 - 6 2 + 50.10 - 6 2 50.10 - 6 2 + 1.10 - 3 . 1 26945

U - = 11712   W / m 2 . K

Passo 4

Agora, assumindo a área superficial da equação 8.45a como sendo a área interna, então teremos:

A s = π d L = π 50.10 - 6 0,052 → A s = 8,17.10 - 6   m 2

Agora, podemos encontrar a vazão mássica através de Reynolds, pois Reynolds é dado por::

R e D = ρ V D μ

E a vazão mássica é dada por:

m ˙ = ρ V A = ρ V π D 2 4 → ρ = 4 m ˙ V π D 2

Substituindo essa expressão na equação para Reynolds, temos:

R e D = 4 m ˙ V D V π μ D 2 → m ˙ = R e D π μ D 4

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

m ˙ = 2000 π 769.10 - 6 50.10 - 6 4 → m ˙ = 60,4.10 - 6   k g / s

Então, substituindo os valores conhecidos, na equação 8.45a, chegamos em:

T ∞ - T m , s a i T ∞ - T m , e n t = exp ⁡ - U - A s m ˙ c p

350 - T m , s a i 350 - 300 = exp ⁡ - 11712 8,17.10 - 6 60,4.10 - 6 4194 → 350 - T m , s a i 50 = 0,6854

T m , s a i = 315,7   K

Passo 5

Agora para calcular a queda de pressão da entrada até a saída do tubo pedida na letra (c), vamos utilizar a equação 8.22a, dada por:

Δ p = f ρ u m 2 L 2 D

Vamos então calcular a velocidade média do escoamento, faremos isso utilizando a vazão mássica encontrada no passo 4, então, sabendo que a vazão mássica é dada por:

m ˙ = ρ u m A = ρ u m π D 2 4 → u m = 4 m ˙ ρ π D 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

u m = 4 60,4.10 - 6 995 π 50.10 - 6 2 → u m = 30,9   m / s

E agora precisamos encontrar o fator f , que no nosso caso, como temos escoamento laminar, será dado por:

f = 64 R e D = 64 2000 → f = 0,032

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para a queda de pressão, temos:

Δ p = 0,032 995 30,9 2 0,052 2 50.10 - 6 → Δ p = 15,8.10 6   P a

Passo 6

Agora para a letra (d), sabemos que a altura de coluna de água se relaciona com a queda de pressão através da seguinte equação:

Δ p = ρ g H

Então, isolando a altura de coluna e substituindo os valores conhecidos, temos:

H = Δ p ρ g = 15,8.10 6 995 9,81 → H = 1619,6   m

Agora, o tempo necessário para coletar 0,1 litro de água pode ser encontrada através da vazão mássica, sabemos que:

m ˙ = ρ V t → t = ρ V m ˙

Substituindo os valores conhecidos, temos:

t = 995 0,1 1000 60,4.10 - 6 → t = 1647,3   s

Resposta

a :   L = 0,052   m

b :   T m , s a i = 315,7   K

c :   Δ p = 15,8.10 6   P a

d :   H = 1619,6   m

d :   t = 1647,3   s

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