Um experimento é planejado para medir o escoamento de líquidos e taxas de transferência de calor por convecção em microcanais. A vazão mássica através do canal é determinada pela medição da quantidade de líquido que escoou através do canal e sua divisão pela duração do experimento. A temperatura média do fluido na saída também é medida. Para minimizar o tempo necessário para realizar o experimento (isto é, para coletar uma quantidade suficiente de líquido de modo que sua massa e sua temperatura possam ser medidas de maneira precisa), tipicamente são usadas séries de microcanais. Considere uma série de microcanais de seção transversal circular, cada um com um diâmetro nominal de 50 μm, perfurados em um bloco de cobre. Os canais têm 20 mm de comprimento e o bloco é mantido a 310 K. Água, a uma temperatura de entrada de 300 K, é forçada para dentro dos canais a partir de um tanque pressurizado, de modo que uma diferença de pressões de Pa está presente entre a entrada e a saída de cada canal.

Em muitos sistemas em microescala, as dimensões características são similares às tolerâncias que podem ser controladas durante a fabricação do equipamento experimental. Consequentemente, uma análise cuidadosa dos efeitos das tolerâncias de fabricação tem que ser feita na interpretação dos resultados experimentais.

(a) Seja o caso no qual três microcanais são perfurados no bloco de cobre. Os diâmetros dos canais exibem algum desvio devido às restrições de construção e têm diâmetros reais de 45 μm, 50 μm e 55 μm, respectivamente. Calcule a vazão mássica em cada um dos três canais, bem como as respectivas temperaturas de saída.

(b) Se a água saindo de cada um dos três canais for coletada e misturada em um único recipiente, calcule a vazão mássica média em cada um dos três canais e a temperatura de saída média de toda a água, que é coletada na saída dos três canais.

(c) O experimentalista entusiasmado usa a vazão mássica média e a temperatura de saída média após a mistura para analisar a performance do canal de diâmetro médio (50 μm) e conclui que vazões mássicas e coeficientes de transferência de calor são aumentados e diminuídos, respectivamente, por aproximadamente 5% quando a convecção forçada está presente em microcanais. Comente sobre a validade da conclusão do experimentalista.

Agora, sabendo que o comprimento de entrada é dado por:

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

Agora nós vamos calcular o número de Nusselt através da correlação de Hausen, dada por:

Onde temos dado pela equação 8.56:

Substituindo os valores conhecidos nessa expressão, chegamos em:

E, substituindo esse valor na expressão para Nusselt, temos:

E, sabendo que o coeficiente convectivo se relaciona com Nusselt através da seguinte relação:

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Agora, para obter a temperatura média de saída, podemos utilizar a equação 8.42 e calcular no ponto , então teremos:

Calculando em e isolando a expressão para a temperatura média, temos:

Agora vamos repetir os cálculos para o diâmetro de , então, começando por Reynolds, teremos:

Então, substituindo essa expressão na equação para o fator de atrito, temos:

E por sua vez substituindo essa expressão na equação de queda de pressão, chegamos em:

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

Resolvendo essa equação com a ajuda de uma calculadora chegamos em:

Com isso, teremos um Reynolds de:

Com isso, podemos encontrar a vazão mássica, que é dada por:

Agora, sabendo que o comprimento de entrada é dado por:

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

Agora nós vamos calcular o número de Nusselt através da correlação de Hausen, dada por:

Onde temos dado pela equação 8.56:

Substituindo os valores conhecidos nessa expressão, chegamos em:

E, substituindo esse valor na expressão para Nusselt, temos:

E, sabendo que o coeficiente convectivo se relaciona com Nusselt através da seguinte relação:

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Agora, para obter a temperatura média de saída, podemos utilizar a equação 8.42 e calcular no ponto , então teremos:

Calculando em e isolando a expressão para a temperatura média, temos:

Agora vamos repetir os cálculos para o diâmetro de , então, começando por Reynolds, teremos:

Então, substituindo essa expressão na equação para o fator de atrito, temos:

E por sua vez substituindo essa expressão na equação de queda de pressão, chegamos em:

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

Resolvendo essa equação com a ajuda de uma calculadora chegamos em:

Com isso, teremos um Reynolds de:

Com isso, podemos encontrar a vazão mássica, que é dada por:

Agora, sabendo que o comprimento de entrada é dado por:

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

Agora nós vamos calcular o número de Nusselt através da correlação de Hausen, dada por:

Onde temos dado pela equação 8.56:

Substituindo os valores conhecidos nessa expressão, chegamos em:

E, substituindo esse valor na expressão para Nusselt, temos:

E, sabendo que o coeficiente convectivo se relaciona com Nusselt através da seguinte relação:

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Agora, para obter a temperatura média de saída, podemos utilizar a equação 8.42 e calcular no ponto , então teremos:

Calculando em e isolando a expressão para a temperatura média, temos:

Agora para a letra (b), a vazão média será obtida com os dados dos passos anteriores, então teremos:

Agora, a temperatura média de saída de toda a água, coletada na saída dos três canais, será composta pela média ponderada das três temperaturas de saída pela vazão mássica de cada uma delas, então teremos:

Agora para a letra (c), vamos utilziar a equação que utilizamos anteriormente, 8.42, para a vazão mássica média e a temperatura média de saída do passo 7, podemos isolar o coeficiente convectivo e chegar em:

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Agora, comparando a variação percentual da vazão mássica média com àquela para , temos:

E, do coeficiente convectivo, temos: