Seja o escoamento laminar de um fluido com Pr = 4, com uma vazão, que passa por um processo de entrada combinada, com uma temperatura superficial constante, em um tubo com comprimento L

Passo 1

Vamo analisar o enunciado junto pra entender o que ele quer de você.

Temos um fluido com número de Prandtl constante P r   =   4 , com temperatura superficial constante em um tubo de comprimento L e vazão mássica m ˙ escoando em um processo de entrada combinada como mostra o esquema abaixo:

Um engenheiro sugere que o tubo seja dividido em N tubos de mesmo comprimento L / N e vazão mássica m ˙ / N , como mostra esse outro esquema aí embaixo:

Devemos encontrar, então, uma relação entre o coeficiente de transferência de calor média depois da divisão dos tubos e o coeficiente do tubo original.

Para fazer isso, antes a gente tem que lembrar algumas definições.

Primeiro devemos lembrar que o número de Nusselt para um um processo de entrada combinada é:

N u =   3,66 tanh ⁡ 2,264 G z D - 1 / 3 + 1,7 G z D - 2 / 3 + 0,0499 G z D tanh ⁡ G z D - 1 tanh ⁡ ( 2,4 32 P r 1 / 6 G z D - 1 / 3 )    

Sendo P r e G z D os adimensionais conhecidos, respectivamente, como números de Prandtl e Graetz. Essa correlação é válida para um valor de temperatura superficial constante e P r ≥ 1 .

Dessa maneira, o número de Nusselt pode ser entendido como uma função dos números de Graetz e Prandtl, como segue:

N u = f G z D , P r

Esses adimensionais podem ser calculados da seguinte forma:

G z D = D R e D P r L

Pr ⁡ =   μ c P k

Sendo D a o diâmetro do tubo, L o comprimento do tubo orginal, μ   a viscosidade dinâmica,   c P o calor específico e k a condutividade térmica.

Por fim, o número de Reynolds pode ser calculado como:

R e D = V D ν

Sendo V a velocidade de escoamento, D o diâmetro do tubo e ν a viscosidade cinemática.

Passo 2

Vamo começar a resolver a questão.

Em primeiro lugar, devemos lembrar que o próprio enunciado afirma que o número de Prandtl é constante, mesmo quando se dividem os tubos.

O número de Reynolds para os tubos divididos pode ser calculado como:

R e D , N = R e D N

Depois, o número de Graetz para cada tubo pode ser calculado como:

G z D , N = D R e D , N P r L / N = D ( R e D / N ) P r L / N = D R e D P r L = G z D

Ou seja, o número de Graetz para os tubos divididos é igual àquele do tubo inteiro.

Ou seja, como o número de Nusselt é uma função dos números de Graetz e Prandtl, e eles continuam iguais, o número de Nusselt para a segunda situação continua igual à primeira!

Agora, pra matar de vez a questão, lembre como a gente pode calcular o número de Nusselt:

N u D =   h - D L k

Portanto, se dividirmos a expressão para o coeficiente dos tubos divididos pelo coeficiente do tubo inteiro, ficamos com:

h - D , N h - D = N u D k / L N u D , N k / L = N u D N u D = 1

Pois, como eu te disse, os números de Nusselt são iguais!

Pronto, acabamos de matar a questão juntos! ;)

Resposta

A razão entre o coeficiente de transferência de calor médio em relação aos N tubose o coeficiente de transferência de calor médio no tubo é h - D , N h - D = 1 .

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