Um eixo de 4 cm de diâmetro gira a 5.200 rpm no mancal de 15 cm de comprimento e de 8 cm de diâmetro externo de ferro fundido (70 W/m.K) com folga uniforme de 1 mm cheia com óleo lubrificante (0,03 N.s/m2 e 0,14 W/m.K). O mancal é resfriado externamente por líquido, e sua superfície externa é mantida a 40°C. Ignorando a condução de calor através do eixo e considerando a transferência de calor unidimensional, determine (a) a taxa de transferência de calor para o líquido de resfriamento, (b) a temperatura da superfície do eixo, e (c) a perda da potência mecânica pela dissipação viscosa do óleo.

Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:

Em que é a velocidade do fluido na direção e é a velocidade do fluido na direção .

Vamos assumir que o escoamento do fluido é paralelo às placas, assim, . Então:

O próximo passo é desenvolver a equação da quantidade de movimento:

Como vimos anteriormente e ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido a diferença de pressão, .

Portanto:

Integrando em y:

Integrando novamente:

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e . Para a velocidade as condições de contorno são:

Em que é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:

O perfil de velocidade é:

Vamos agora resolver a equação da energia. Para o escoamento entre duas placas planas paralelas a equação é:

Como e só ocorre transferência de calor na direção :

Portanto ficamos com:

Temos condições de calcular :

Substituindo no balanço de energia:

Integrando em :

Integrando em mais uma vez:

As condições de contorno são:

A primeira se refere à temperatura do mancal e a segunda condição é que o fluxo de calor pela placa inferior é zero, já que ela está isolada. Aplicando as condições de contorno:

Substituindo as constantes e no perfil de temperatura:

Com o perfil de temperatura podemos calcular o fluxo de calor para o óleo a partir da superfície do mancal (). Sabemos que a camada de fluido em contato com a parede tem a mesma velocidade que ela. Como não há diferença de velocidade o fluxo de calor ocorre por condução:

Já calculamos a derivada de em relação a para descobrir o ponto de máximo. Vamos então substituir a expressão que encontramos:

Para encontrar a temperatura do eixo basta substituir a posição no perfil de temperatura. Desta forma:

O exercício nos pede ainda para determinar a perda de potência por dissipação viscosa. Como vimos no balanço de energia, o termo de dissipação viscosa é:

Como e :

Já calculamos . Substituindo:

Vamos apenas converter o nosso resultado para a unidade de potência (W). Para isso, temos que multiplicar o valor da dissipação pelo volume de óleo.

Multiplicando a dissipação pelo volume: