Um elemento de fluido bidimensional de dimensões e é translado e distorcido como mostra a Figura P4-60 durante o período de tempo infinitesimal As componentes da velocidade no ponto P no instante inicial são e nas direções e , respectivamente. Mostre que o módulo da taxa de rotação (velocidade angular) com relação ao ponto P no plano é

Nesse problema específico, as linhas e são inicialmente perpendiculares e se cruzam no ponto P. A linha gira pelo ângulo , e a linha gira pelo ângulo .

Portanto, o ângulo médio de rotação pode ser expresso como sendo:

Durante o incremento de tempo , o ponto P move uma distância para a direita e para cima (para a primeira ordem, assumindo que seja muito pequeno).

Da mesma forma, o ponto A move uma distância:

E

O ponto B se move uma distância:

E

Como o ponto A está inicialmente na distância à direita do ponto P, a distância horizontal do ponto ao ponto no momento posterior é...

Por outro lado, o ponto A está no mesmo nível vertical que o ponto P no tempo . Assim, a distância vertical do ponto ao ponto no momento é...

Da mesma forma, o ponto B está localizado na distância verticalmente acima do ponto P no tempo e, portanto, a distância horizontal do ponto ao ponto no tempo é...

E

Marcamos as distâncias horizontais e verticais entre o ponto e o ponto e entre o ponto e o ponto no tempo na Figura anterior.

A partir da figura, temos que:

A primeira aproximação na equação acima é devido ao fato de que à medida que o tamanho do elemento fluido diminui até um ponto e ao mesmo tempo .

Portanto, o segundo termo no denominador é de segunda ordem em comparação com a primeira ordem e pode ser negligenciado.

A segunda aproximação na equação acima é porque, como , o ângulo é muito pequeno e .

Da mesma forma, o ângulo é escrito em termos de componentes de velocidade como sendo:

Por fim, então, o ângulo de rotação médio:

Se torna...