Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 55

Considere o escoamento com cisalhamento em regime permanente, incompressível e bidimensional para o qual o campo de velocidade é

V → = u , v = a + b y i → + 0 j →

Onde a e b são constantes. A figura P4-55 representa uma pequena partícula retangular com dimensões d x e d y no instante t . A partícula de fluido se movimenta e deforma com o escoamento, de forma que em um instante posterior t + d t a partícula não é mais retangular, como também mostra a figura. O local inicia de cada canto da partícula de fluido está marcado na Figura P4-54. O canto esquerdo inferior está em ( x , y ) no instante t , onde a componente x da velocidade é u = a + b y . Mais tarde, esse canto se move para ( x + u d t , y ) ou

( x + a + b y d t , y )

( a ) De forma semelhante, calcule a posição de cada um dos três cantos da partícula de fluido no instante t + d t .

( b ) Da definição fundamental da taxa de deformação linear (a taxa de aumento do comprimento por unidade de comprimento), calcule as taxas de deformação linear ε x x e ε y y .

( c ) Compare seus resultados com aqueles obtidos nas equações para ε x x e ε y y em coordenadas cartesianas, ou seja

ε x x = ∂ u ∂ x                 ε y y = ∂ v ∂ y

Passo 1

Primeiramente iremos separar aqui as equações que iremos utilizar, ou seja...

C a m p o   d e   v e l o c i d a d e :

V → = u , v = a + b y i → + 0 j →                 ( 1 )

C a n t o   i n f e r i o r   e s q u e r d o   e m   t   +   d t :

x + a + b y d t , y             ( 2 )

T a x a   d e   d e f o r m a ç ã o   l i n e a r   e m   c o o r d e n a d a s   c a r t e s i a n a s :

ε x x = ∂ u ∂ x                 ε y y = ∂ v ∂ y               ( 3 )

Passo 2

Iremos começar pela questão a .

( a ) O canto inferior direito da partícula de fluido se move a mesma quantidade que o canto inferior esquerdo, pois u não depende da posição y . Portanto:

C a n t o   i n f e r i o r   d i r e i t o   e m   t   +   d t :

x + d x + a + b y d t , y             ( 4 )

Da mesma forma, os dois cantos superiores da partícula fluida se movem para a direita na velocidade a   +   b   ( y   +   d y )   d t . Portanto:

C a n t o   s u p e r i o r   e s q u e r d o   e m   t   +   d t :

x + a + b ( y + d y d t , y + d y             ( 5 )

E

C a n t o   s u p e r i o r   d i r e i t o   e m   t   +   d t :

x + d x + a + b ( y + d y d t , y + d y             ( 6 )

Passo 3

Partindo para questão b .

( b ) A partir da definição fundamental da taxa de deformação linear na direção x , consideramos a borda inferior da partícula do fluido.

Sua taxa de aumento de comprimento dividida por seu comprimento original é encontrada usando as equações 2 e 4, ou seja...

ε x x : 1 d t x + d x ( a + b y ) d t - ( x + ( a + b y ) d t ) ⏞ C o m p r i m e n t o   d a   a r e s t a   i n f e r i o r   e m   t + d t - d x ⏞ C o m p r i m e n t o   d a   a r e s t a   i n f e r i o r   e m   t d x = 0             ( 6 )

Obtemos o mesmo resultado considerando a borda superior da partícula de fluido. Da mesma forma, usando a borda esquerda da partícula de fluido e as Equações 2 e 5 teremos...

ε y y = 1 d t y + d y - y ⏞ C o m p r i m e n t o   d a   b o r d a   e s q u e r d a   e m   t + d t - d y ⏞ C o m p r i m e n t o   d a   b o r d a   e s q u e r d a   e m   t d y = 0         ( 7 )

Obtemos o mesmo resultado considerando a borda direita da partícula de fluido. Assim, os componentes x e y da taxa de deformação linear são zero para este campo de fluxo.

Passo 4

Por fim a questão c .

( c ) Da Eq. 3 podemos calcular as taxas de deformação linear:

ε x x = ∂ u ∂ x = 0               ε y y = ∂ v ∂ y = 0         ( 8 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere um campo de escoamento em regime permanente e bidimensional cuja componente x da velocidade é dada por u = a + b x - c 2 Onde a ,b e c são constante com dimensões apropriadas. Com qual forma
Considere o campo de velocidade aproximado para o aspirador de pó do Problema 4-90. Calcule a velocidade de escoamento ao longo do piso. As partículas de poeira do piso têm mais chance de serem sugada
Um elemento de fluido bidimensional de dimensões d x e d y é transladado e distorcido como mostra a Figura P 4 - 60 durante o período de tempo infinitesimal d t = t 2 - t 1 . As componentes da velocid
Considere um campo de escoamento em regime permanente, bidimensional e incompressível no plano x y . A taxa de deformação linear na direção x é de 2,5s - 1 . Calcule a taxa de deformação linear na dir
Um elemento de fluido bidimensional de dimensões d x e d y é transladado e distorcido como mostra a Figura P 4 - 60 durante o período de tempo infinitesimal d t = t 2 - t 1 . As componentes da velocid