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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 53

Combine seus resultados dos Problemas 4-51 e 4-52 para formar o tensor taxa de deformação bidimensional ε i j no plano x y

ε i j = ε x x ε x y ε y x ε y y

Sob quais condições os eixos x e y seriam eixos principais?

Passo 1

Boa galera, do enunciado temos que a forma bidimensional do tensor da taxa de deformação é

ε i j = ε x x ε x y ε y x ε y y

Passo 2

Dos dois problemas anteriores podemos utilizar alguns dados como:

Teremos que as taxas de deformação linear serão...

ε x x = ∂ u ∂ x = a 1

ε y y = ∂ v ∂ y = b 2

Taxa de tensão de cisalhamento no plano x - y :

ε x y = ε y x = 1 2 ( b 1 + a 2 )

Passo 3

Usaremos as taxas de deformação linear e de cisalhamento dos dois problemas anteriores para gerar o tensor...

ε i j = ε x x ε x y ε y x ε y y = a 1 1 2 ( b 1 + a 2 ) 1 2 ( b 1 + a 2 ) b 2

Se os eixos x   e y fossem eixos principais, as diagonais de ε i j seriam diferentes de zero e as diagonais externas seriam zero.

Resposta

Tirando as diagonais, teremos as condições para os eixos x   e   y serem eixos principais:

b 1 + a 2 = 0

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