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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 26

A emissividade espectral de titânio não oxidado a temperatura ambiente é bem descrita pela expressão ε λ = 0,52 λ – 0,5 para 0,3   μ m ≤ λ ≤ 30   μ m .

(a) Determine o poder emissivo associado a uma superfície de titânio não oxidado a T = 300   K . Suponha que a emissividade espectral seja ε λ = 0,1 para λ > 30   μ m .

(b) Determine o valor de λ m á x para o poder emissivo da superfície na parte (a).

Passo 1

Bora resolver essa questão comigo?

Então, vamos lá!

Letra a)

Começamos o nosso problema pela equação de poder emissivo:

E T = ε T E b T = ∫ 0 ∞ ε λ λ , T E λ , b λ , T d λ = I 1 + I 2 + I 3

Onde:

I 1 = ∫ 0 0,3   μ m ε λ λ , T E λ , b λ , T d λ ≤ ∫ 0 0,3   μ m λ , T E λ , b λ , T d λ = F 0 → 0,3   μ m E b T

I 2 = 0,52 ∫ 0,3   μ m 30   μ m λ - 0,5 E λ , b λ , T d λ

I 3 = 0,1 ∫ 30   μ m ∞ E λ , b λ , T d λ = 0,1 F 30   μ → ∞ E b T

Pela Tabela 12.2, com:

λ 1 T = 0,3 ⋅ 300 = 90   μ m ⋅ K

λ 2 T = 30 ⋅ 300 = 9000   μ m ⋅ K

Temos:

F 0 → 0,3   μ m ≅ 0

F 30   μ → ∞ = 1 - F 0 → 30   μ m = 1 - 0,89 = 0,110

Assim:

I 1 = 0

I 3 = 0,1 ⋅ 0,110 ⋅ 5,67 × 10 - 8 ⋅ 300 4 = 5,05   W / m 2

Para I 2 :

I 2 = 0,52 ∫ 0,3   μ m 30   μ m λ - 0,5 C 1 λ 5 exp ⁡ C 2 λ T - 1 d λ

Utilizando um software, obtemos:

I 2 = 6 1 , 16   W / m 2

Desse modo:

E T = I 1 + I 2 + I 3 = 0 + 61,16 + 5,05

E T = 66,2   W / m 2

Passo 2

Letra b)

O valor de λ m á x é o valor de λ para o qual E λ é máximo.

O máximo em E λ , b ocorre para λ m á x T = 2898   μ m ⋅ K , ou a 300   K , λ m á x = 9,66   μ m .

No entanto, para E λ = ε λ E λ , b , o máximo será alterado devido à dependência de ε λ ou λ .

Assim, nós consideramos:

d E λ d λ = d ε λ E λ , b d λ = ε λ d E λ , b d λ + d ε λ d λ E λ , b = 0

Considerando o intervalo 0,3   μ m ≤ λ ≤ 30   μ m , para ε λ = 0,5 λ - 0,5 , temos:

0,5 λ - 0,5 d E λ , b d λ - 0,5 0,52 λ - 1,5 E λ , b = 0

λ d E λ , b d λ - 0,5 E λ , b = 0 (1)

Assim:

d E λ , b d λ = - 5 C 1 λ 6 exp ⁡ C 2 λ T - 1 + - C 1 exp ⁡ C 2 λ T λ 5 exp ⁡ C 2 λ T - 1 2 - C 2 λ 2 T

d E λ , b d λ = - 5 E λ , b λ + E λ , b exp ⁡ C 2 λ T exp ⁡ C 2 λ T - 1 C 2 λ 2 T (2)

Substituindo essa equação (2) na equação (1), temos:

exp ⁡ C 2 λ T exp ⁡ C 2 λ T - 1 C 2 λ 2 T = 5,5

Resolvendo essa equação por meio de um software matemático:

C 2 λ T = 5,477

Por fim:

λ m á x = C 2 5,477 T = 1,439 × 10 4 5,477 ⋅ 300

λ m á x = 8,76   μ m

Assim, temos que E λ , b será menor nas faixar λ < 0,3   μ m e λ > 30   μ m .

Resposta

E T = 66,2   W / m 2

λ m á x = 8,76   μ m

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