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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 02

A equação que descreve a vibração de pequena amplitude de uma viga é

ρ A ∂ 2 y ∂ t 2 + E I ∂ 4 y ∂ x 4 = 0

em que y é a deflexão da viga no local x e no tempo t , ρ e E são a massa específica e o módulo de elasticidade do material da viga, respectivamente, e A e I são a área de seção transversal da viga e o segundo momento de inércia, respectivamente. Use o comprimento da viga L , e a frequência de vibração ω , para adimensionalizar esta equação. Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam esta equação.

Passo 1

Vamos lá, o exercício que adimensionalizar a equação, usando o comprimento e a frequência de vibração...

Para isso a gente só precisa dividir todos os comprimentos por L e o mesmo vai acontecer para quem fica em função de ω , show?

Vamos diferenciar tudo que for adimensional colocando um *pra gente não se perder, ta ok?

A * = A L 2 y * = y L I * = I L 4 t * = t ω x * = x L

Passo 2

Fazendo as considerações do passo 1, nossa equação ficará assim:

ρ L 2 A * ∂ 2 y * L ∂ t * ω 2 + E I * L 4 ∂ 4 y * L ∂ x * L 4 = 0

Podemos arrumar a equação da seguinte forma, retirando as constantes das derivadas:

ρ L 2 A * ω 2 L ∂ 2 y * ∂ t * 2 + E I * L 4 L L 4 ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

A * ∂ 2 y * ∂ t * 2 + E ρ L 2 ω 2 I * ∂ 4 y * ∂ x * 4 = 0

Passo 3

O grupo adimensional que caracteriza a equação é:

E ρ L 2 ω 2

Nós conseguimos! Já acabou!

Resposta

E ρ L 2 ω 2

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