A placa da figura tem uma área de 4   m 2 e espessura desprezível. Entre a placa e o solo existe um fluido que escoa, formando um diagrama de velocidades dado por v = 20 y v m á x 1 - 5 y . A viscosidade dinâmica do fluido é 10 - 2 N ⋅ s / m 2 e a velocidade máxima do escoamento é 4   m / s . Pede-se:

  1. O gradiente de velocidades junto ao solo;
  2. A força necessária para manter a placa em equilíbrio.

Passo 1

Bora lá!! A primeira coisa que a questão pede é o gradiente de velocidade no solo!

O problema dá pra a gente a equação de velocidade:

v = 20 y v m á x 1 - 5 y

Se a gente quer o gradiente a gente quer....

Isso mesmo, a derivada!! Então é pra esse caminho que a gente vai!

Multiplicando os termos, fazendo uma distributiva, temos:

v = 20 y v m á x - 100 y 2 v m á x

Derivando em função de y :

d v d y = 20 v m á x - 200 y v m á x

O enunciado dá o valor da velocidade máxima

v m á x = 4   m / s  

E como queremos esse gradiente no solo, usaremos

y = 20   c m = 0,2   m

E portanto:

d v d y = 20 4 - 200 ( 0,2 ) ( 4 )

d v d y = - 80   s - 1

Passo 2

A gente quer agora saber quem é a força F que deixa a placa em equilibrio, ou seja, parada!!

Se ela esta parada então a força que o fluido faz na placa quando se movimenta deve ser igual a força contraria, F que é responsável por deixar ela em equilibrio!!!

Que é:

F = τ ⋅ A

A área é dada pelo enunciado, A = 4   m 2 , mas precisamos achar τ :

τ = μ d v d y

Para calcularmos a força em que mantém a placa em condição de equilíbrio, realizaremos o calculo do gradiente em y = 0 , pois a placa está no topo do fluido:

d v d y = 20 4 - 200 ( 0 ) ( 4 )

d v d y = 80   s - 1

Podemos então encontrar a tensão de cisalhamento relacionada a este gradiente e encontrar a força.

τ = 10 - 2 80 = 0,8   N / m 2

Agora podemos calcular a força:

F = 0,8 × 4 = 3,2   N

Resposta

a )   d v d y = - 80   s - 1

b ) F = 3,2   N  

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