Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 28
Um escoamento de ar desenvolve-se em um duto horizontal cilíndrico, com diâmetro , após uma seção de entrada bem arredondada. Uma camada-limite turbulenta cresce sobre a parede do duto, mas o escoamento ainda não está inteiramente desenvolvido. Considere que o perfil de velocidade na camada-limite é . O escoamento de entrada é uniforme com na seção 1. Na seção 2, a espessura da camada limite sobre cada parede do duto é . Avalie a pressão estática manométrica na seção 2, localizada em . Determine a tensão de cisalhamento média na parede.
Passo 1
Tá legal, a primeira coisa que vamos fazer aqui é escrever a equação da definição de espessura do deslocamento, equação 9.1 vista nesse capítulo, então, temos:
Agora, vamos dividir os dois lados da equação pela espessura , teremos:
Agora vamos fazer uma mudança de varíavel, vamos chamar:
E, quando , . E, sabendo que o perfil de potência é dado por:
Podemos reescrever nossa integral como:
Resolvendo a integral, chegamos em:
Substituindo os limites de integração, temos:
Então, a espessura de deslocamento na saída será:
Passo 2
Agora o que devemos fazer é aplicar o princípio da continuidade para o sistema. E nesse caso, como temos regime permamente e área transversal constante, teremos que a vazão na entrada é a mesma na saída, então podemos escrever:
Agora, vamos substituir os valores conhecidos e encontrar a velocidade do fluido na saída:
Passo 3
Agora para avaliar as pressões estáticas na entrada e na saída da seção de teste, nós iremos utilizar a equação de Bernoulli, que nos dá:
No nosso caso, a diferença de cota entre os níveis da entrada e saída podem ser desprezados, então, teremos:
E, escrevendo em função da diferença de pressão, temos:
Substituindo os valores conhecidos, temos:
Então, com a variação de pressão, podemos encontrar a pressão manométrica na saída através de:
No entanto, como estamos interessados na pressão manométrica, então podemos fazer e obter a pressão manométrica em 2, onde teremos:
Passo 4
Agora vamos aplicar a equação do equilíbrio de momento para o sistema na direção , então, teremos:
No nosso caso, não temos força de campo atuando na direção , então teremos . As forças de superfície atuando no sistema são as forças de cisalhamento e a força de pressão. E, como temos regime permanente, a derivada parcial no tempo será zero, então a equação acima se torna:
Agora, vamos substituir as expressões conhecidas até o momento:
Vamos lidar primeiro com essa integral. Agora, escrevendo o raio em função de , temos:
E, para os intervalos de integração, teremos:
Então, vamos reescrever a integral acima em :
Então, resolvendo a integral acima, temos:
Substituindo os limites de integração, chegamos em:
Passo 5
Então, agora, vamos substituir essa expressão na equação obtida no passo 4, então, temos:
Então, substituindo os valores conhecidos nessa expressão, conseguimos obter o valor da tensão de cisalhamento: