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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 76

Um escoamento incompressível bidimensional tem o potencial de velocidade

ϕ = K x 2 - y 2 + C l n ( x 2 + y 2 )  

em que K e C são constantes. Nessa discussão, evite a origem, que é uma singularidade (velocidade infinita). (a) Encontre o único ponto de estagnação desse escoamento, que está em algum ponto no semiplano superior. (b) Prove que existe uma função corrente e, então, encontre ψ (x, y), usando a dica de que ∫ d x a 2 +   x 2 = 1 a tan - 1 ⁡ ( x a ) .

Passo 1

Bora pra mais uma!

  1. Vamos encontrar o ponto de estagnação, para isso vamos ver onde os componentes da velocidade são simultaneamente iguais a zero.

    2. u = ∂ ϕ ∂ x = 2 K x + C x x 2 + y 2 ; v = ∂ ϕ ∂ y = - 2 K y + 2 C y x 2 + y 2

    Do primeiro, termo, se C e K foram positivos a única maneira de   u ser 0 é caso x=0.

    Daí:

    v = 0 ↔ - 2 K y + 2 C y = 0 ↔ y = C K 1 2  

    Passo 2

  2. Vamos verificar se há uma função corrente, da continuidade, temos:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 2 K + 2 C x 2 + y 2 - 4 C x 2 x 2 + y 2 2 + - 2 K + 2 C x 2 + y 2 - 4 C y 2 x 2 + y 2 2 = 0

Como a continuidade é satisfeita, existe uma função corrente. Vamos então encontra-la:

u = ∂ ψ ∂ y = 2 K x + 2 C x x 2 + y 2 ; v = - ∂ ψ ∂ x = - 2 K y + 2 C y x 2 + y 2

ψ y = 2 C a r c t a n y x + 2 K x y + c x ; ψ x = 2 C a r c t a n y x + 2 K x y + c y

ψ = 2 C a r c t a n y x + 2 K x y + c o n s t

Resposta

  1. O único ponto de estagnação desse escoamento, que está em algum ponto no semiplano superior é o ponto x = 0 , y = C K 1 2 .
  2. ψ = 2 C a r c t a n y x + 2 K x y + c o n s t .
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