Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 3.Exercício - Ex. 1
No escoamento laminar de um fluido em condutos circulares, o diagrama de velocidades é representado pela equação , onde é a velocidade no eixo do conduto, é o raio do conduto e é um raio genérico para o qual a velocidade é genérica. Verificar que , onde velocidade média na seção.
Passo 1
Bora lá! O problema da pra a gente a equação da velocidade prontinha e com ela a gente pode achar a velocidade em qualquer posição radial do tubo!
Como assim?
A velocidade é constante ao longo do tubo mas a medida que a gente vai chegando perto das paredes do tubo ela vai diminuindo e quando a gente vai até o seu centro, lá a gente encontra a velocidade máxima!!
E o que a gente quer aqui?! A gente quer achar uma expressão que relacione a velocidade média, com e provar que a razão das duas é igual a !
Passo 2
Temos a seguinte equação que relaciona a velocidade média com uma possível velocidade máxima:
Segundo o problema, é igual a:
Substituindo:
Arrumando:
Mas é uma função do raio, certo?!
Isolando o :
Huuuum, podemos substituir o na equação, porque ai tudo vai ficar em função de e podemos integrar!
Passo 3
Antes de resolver a integral, vamos dar uma arrumadinha:
Agora só ficou na integral quem interessa, podemos calcular:
Cortando mais algumas coisinhas:
Que também pode ser escrito como:
Aweeee!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)