Para um escoamento no plano x y , a componente x da velocidade é dada por u = 3 x 2 y - y 3 . Encontre uma possível componente y para escoamento em regime permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível em regime não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y ?

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Temos que u = 3 x 2 y - y 3 , então:

∂ ∂ x ( 3 x 2 y - y 3 ) + ∂ v ∂ y = 0

∂ v ∂ y = - ∂ ∂ x ( 3 x 2 y - y 3 )

Derivando:

∂ v ∂ y = - 6 x y

Passo 3

Integrando:

d v = - 6 x y   d y

∫ d v = - 6 x ∫ y d y

v x , y = - 3 x y 2 + f ( x )

Essa equação básica é válida para fluxo constante e instável.

Existem infinitas soluções, pois f ( x ) pode ser qualquer função de x .

Sendo a mais simples f x = 0 :

v x , y = - 3 x y 2

Resposta

v x , y = - 3 x y 2

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