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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 8

A componente x da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível no plano x y é

v = 2 x y x 2 + y 2 2

Mostre que a expressão mais simples para a componente x da velocidade é

u = 1 x 2 + y 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Temos que v = 2 x y x 2 + y 2 2 , então:

∂ u ∂ x + ∂ ∂ y 2 x y x 2 + y 2 2 = 0

∂ u ∂ x = - ∂ ∂ y 2 x y x 2 + y 2 2

Derivando:

∂ u ∂ x = - 2 x 3 - 6 x y 2 x 2 + y 2 3

Passo 3

Integrando:

d u = - 2 x 3 x 2 + y 2 3 - 6 x y 2 x 2 + y 2 3   d x

∫ d u = - ∫ 2 x 3 x 2 + y 2 3 - 6 x y 2 x 2 + y 2 3 d x

u x , y = - - 1 x 2 + y 2 + y 2 2 x 2 + y 2 2 + 3 y 2 2 x 2 + y 2 2

u x , y = - - 1 x 2 + y 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 2

u x , y = 1 x 2 + y 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2 + f ( y )

Essa equação básica é válida para fluxo constante e instável.

Existem infinitas soluções, pois f ( y ) pode ser qualquer função de y .

Sendo a mais simples f y = 0 :

u x , y = 1 x 2 + y 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2

Resposta

u x , y = 1 x 2 + y 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2

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