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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 22

5.22 Um líquido viscoso é submetido a cisalhamento entre dois discos paralelos de raio R , um dos quais gira enquanto o outro permanece fixo. O campo de velocidade é puramente tangencial, e a velocidade varia linearmente com z , de V θ = 0 em z = 0 (o disco fixo) até a velocidade do disco rotativo na sua superfície z = h . Deduza uma expressão para o campo de velocidade entre os discos.

Passo 1

Vamos começar usando a equação da continuidade para coordenadas cinlíndricas

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0  

Vamos considerar escoamento incompressível, então ρ = 0 e ele pode sair da derivada e ∂ ρ ∂ t = 0 . Além do campo de velocidade ser puramente tangecial V r = V z = 0 , então ficamos com:

∂ V θ ∂ θ = 0

Separando as variáveis e integrando

d V θ = 0

V θ = C

Onde C é a constante (em relação a θ ).

Como a velocidade varia linearmente com z, vamos tentar fazer a mágica de interpretar isso:

V = z A + B

Passo 2

Porém, quando z = 0, V = 0 , então:

B = 0

E quando z = h , V = V θ h , então:

V θ h = h A

A = V θ h h

A expressão para o campo de velocidade fica

V → = V θ h h z   e ^ θ

Resposta

V → = V θ h h z   e ^ θ

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