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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 27

Ao estudar o transporte de areia pelas ondas oceânicas, A. Shields, em 1936, postulou que o limiar de tensão de cisalhamento τ induzida pelas ondas no fundo, requerida para mover partículas, depende da gravidade g, do tamanho d da partícula e da sua massa específica ρ p , da massa específica e viscosidade da água ρ e μ , respectivamente. Encontre grupos adimensionais adequados para esse problema, que em 1936 resultou no célebre diagrama de transporte de areia de Shields.

Passo 1

Temos seis variáveis nesse problema, certo? Que são τ ,   g ,   d ,   ρ p ,   ρ ,   μ e três dimensões bases (MLT), ou seja, temos então que encontrar 6 – 3 grupos pi!

Já te adianto que um grupo adimensional pi provavelmente será a razão entre as densidades, né?

Vamos escolher as variáveis ρ ,   g ,   d como repetitivas!!!

Passo 2

Nossos grupos serão então:

Π 1 = ρ a g b d c τ

Π 2 = ρ a g b d c ρ p

Π 3 = ρ a g b d c μ

As unidades bases são:

ρ = { ρ p } = M L - 3

g = L T - 2

d = L

τ = M L - 1 T - 2

μ = { M L - 1 T - 1 }

Passo 3

Vamos encontrar então esses expoentes de cada um dos grupos!!!!

Π 1 = ρ a g b d c τ

Π 1 = { M L - 3 } a L T - 2 b { L } c { M L - 1 T - 2 } = M 0 L 0 T 0

M : a + 1 = 0 → a = - 1

L : - 3 a + b + c - 1 = 0

T : - 2 b - 2 = 0 → b = - 1

Vamos substituir “a” e “b” na equação de L:

- 3 a + b + c - 1 = 0

- 3 - 1 - 1 + c - 1 = 0

3 - 2 + c = 0 → c = - 1

a = b = c = - 1

Π 1 = τ ρ g d

Para o grupo 3

Π 3 = ρ a g b d c μ = M 0 L 0 T 0

Π 3 = { M L - 3 } a L T - 2 b { L } c { M L - 1 T - 1 } = M 0 L 0 T 0

M : a + 1 = 0

L : - 3 a + b + c - 1 = 0

T : - 2 b - 1 = 0 → b = - 1 / 2

a = - 1

c = 1 - b + 3 a = 1 + 1 2 - 3 = 1 2 - 2 = - 3 2

Π 3 = μ ρ g 1 2 d 3 2

Para o grupo 2 podemos escrever que ρ ρ p = Π 2

Logo,

τ ρ g d = f μ ρ g 1 2 d 3 2 , ρ ρ p

Resposta

τ ρ g d = f μ ρ g 1 2 d 3 2 , ρ ρ p

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