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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 10

Determine a dimensão { M L T Theta } das seguintes grandezas:

(a) rho u ((del u)/(del x))

(b) int_1^2 (p - p_0) d A

(c) rho C_p ((del^2 T)/(del x del y))

(d) ∭ rho ((del u)/(del t)) d x d y d z

Passo 1

Bem, podemos fazer uma análise até mais simples aqui do que imaginamos, uma vez que essas variáveis são conhecidas bem suas unidades, por exemplo, rho é a massa específica do fluido.

Passo 2

Observe que por exemplo pra letra (a), temos nada mais e nada menos que:

{rho u ((del u)/(del x))} = {M L^(- 3)} {L T^(- 1)} {T^(- 1)} = {(M)/(L^2 T^2)}

Passo 3

Para letra (b), temos que:

int_1^2 (p - p_0) d A

Note que vimos muito essa integral na época de hidrostática? Esse cara que está dentro da integral nada mais é do que a força de pressão, ou seja, temos a unidade de N.

{F} = {N} = {M x L T^(- 2)}

Logo,

{int_1^2 (p - p_0) d A} = {(M L)/(T^2)}

Passo 4

Em (c), temos que:

rho C_p ((del^2 T)/(del x del y))

Agora vale lembrarmos qual é a unidade que costumamos ter os valores de calor específico como sendo { J // k g . K }

Aí vamos lá, temos que lembrar de mais uma cosia! Quem é Joule? Esse cara veio lá do trabalho, certo? E você se lembra qual é a fórmula do trabalho? Ele é o produto da força pela distância, então...

{J} = {N} {L} = {(M L)/(T^2)} {L} = {(M L^2)/(T^2)}

No sistema internacional, quando vamos analisar as unidades básicas, a temperatura é usada como a temperatura termodinâmica, que é representada por ( ). Isso mesmo, parênteses sem nada dentro. Em outras palavras, ignora temperatura nessas análises adimensionais, beleza?

Logo, C_p = {((M L^2)/(T^2))/(M)} = (L^2)/(T^2)

{rho} = { M L^(- 3) }

E bem, a derivada da temperatura nas diferentes direções darão: {((del^2 T)/(del x del y))} = {L^(- 2)}

{rho C_p ((del^2 T)/(del x del y))} = {M L^(- 3)} {(L^2)/(T^2)} {L^(- 2)} = {(M)/(L^3 T^2)}

Passo 5

Em (d), temos que:

∭ rho ((del u)/(del t)) d x d y d z

Bem, uma integral tripla vai dar sempre um volume, então temos já a unidade de volume L³ que é representado pela integral tripla com dxdydz.

Agora é mole!!! Além disso, a derivada da velocidade no tempo é a própria aceleração!!!!

{rho ((del u)/(del t)) V} = {M L^(- 3)} (L T^(- 2)} {L^3} = {(M L)/(T^2)}

{rho} = { M L^(- 3) }

Resposta

(a) {(M)/(L^2 T^2)}

(b) {(M L)/(T^2)}

(c) {(M)/(L^3 T^2)}

(d) {(M L)/(T^2)}

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