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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 20

Podemos estender o problema P5.18 ao caso do escoamento laminar em um duto de um fluido não newtoniano, para o qual a relação mais simples para tensão em função da taxa de deformação é aproximada pela lei de potência abaixo:

τ = C d θ d t n

Onde θ é o ângulo da deformação por cisalhamento. Este é o análogo da equação (1.23). A constante C toma o lugar da viscosidade. Se o expoente n for menor que (maior que) a unidade, o material simula um fluido pseudoplástico (dilatante), conforme ilustra a figura 1.7. (a) Usando o sistema {MLT}, determine as dimensões de C. (b) O análogo do problema P5.18 para a lei de potência em escoamento laminar em duto triangular é Q = f C , Δ p L ,   b . Reescreva essa função na forma de grupos pi adimensionais.

Passo 1

Vamos encarar mais um desafio juntos, galera?

Bem aqui vamos seguir o mesmo raciocínio que estamos fazendo ao longo das questões, encontrar as dimensões do que precisamos e por fim encontrar os grupos pi!!

τ = { M L - 1 T - 2 }

d θ d τ = T - 1

Passo 2

(a) Usando a equação dada pelo problema, temos que:

M L T 2 = C 1 T n

C = M L T 2 T n = M L - 1 T - 2 T n = M L - 1 T n - 2 = M L T 2 - n

Passo 3

Agora que temos quais são as unidades dimensionais de C, podemos escrever Q em função dos outros parâmetros.

Q = f C , Δ p L ,   b

As dimensões desses parâmetros são:

Q = L 3 T - 1

Δ p L = M L - 2 T - 2

b = { L }

L 3 T - 1 = M L T 2 - n M L - 2 T - 2 { L }

Vamos agora descobrir quantos grupos adimensionais precisamos, beleza? Temos 4 variáveis e 3 dimensões, logo precisamos encontrar n – j grupos pi, ou seja, 1.

n = 4

j = 3

Passo 4

Então, nosso grupo adimensional é:

Π 1 = Q a Δ p L b L c C = L 3 T - 1 a M L - 2 T - 2 b L c M L T 2 - n = M 0 L 0 T 0

M : b + 1 = 0 → b = - 1

L : 3 a - 2 b + c - 1 = 0 → 3 a + 2 + c - 1 = 0 → 3 a + 1 + c = 0 → c = - 3 a - 1

T : - a - 2 b - 2 + n = 0 → a = n

a = n

b = - 1

c = - 3 n - 1

Π 1 = Q n C Δ p L b 3 n + 1 = c o n s t a n t e

Resposta

Π 1 = Q n C Δ p L b 3 n + 1 = c o n s t a n t e

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