Enunciado

83 – Devido a condutividade térmica comparativamente grande, a água é um fluido preferido para resfriamento por convecção. No entanto, em aplicações envolvendo dispositivos eletrônicos, a água não deve entrar em contato com estes dispositivos, e fluidos dielétricos tal como o ar são comumente usados ao invés da água.

Considere o resfriamento do chip de microcanal aplicado no Problema 8.82, mas com ar como o fluido refrigerante e vazão mássica de 10-6 kg/s por canal. Determine a temperatura de saída do ar e a potência dissipada do chip. Avalie as propriedades do ar em T=300 K, p=1 atm. Use os coeficientes αt=0,8 e αp=0,9. Assumir que Nu=hDh/k para a condição de temperatura uniforme na parede é aumentada devido aos efeitos de microescala na mesma proporção como para a vazão em um tubo circular com fluxo de calor uniforme.

Passo 1

A ideia inicial para este exercício é analisar o balanço de energia associado ao processo, em que o processo de transferência de calor ocorrendo é uma transferência de calor por convecção.

Usando a expressão da taxa de transferência de calor por convecção.

q c o n v = h A S ( T - T S )

Onde,

-qconv é a taxa de transferência de calor por convecção;

-h é o coeficiente de transferência de calor;

-AS é a área superficial de troca térmica;

-TS é a temperatura da superfície do chip, que é uniforme;

-T é a temperatura do fluido (ar);

A área da superfície de cada microcanal é

A S = W H

O chip é composto por 50 microcanais separados por uma certa distância, assim a taxa de transferência de calor total no chip é

q c o n v = 50 h W H ( T - T S )

Passo 2

A taxa de transferência de calor do ar para o chip, também pode ser determinada fazendo um balanço de energia para ar, considerando estado estacionário e variações de energia cinética e potencial desprezíveis, assim o balanço de energia resultante vai ser

q = q c o n v = m ˙ c p ( T - T i )

Onde,

-T é a temperatura do fluido na saída;

-Ti é a temperatura do fluido na entrada, 290K pelo Problema 8.82;

- m ˙ , é a vazão mássica do ar;

-cp é o calor especifico do ar;

Assim,

50 h W H T - T S = m ˙ c p ( T - T i )

Isolando T

50 h W H T - m ˙ c p T = 50 h W H T S - m ˙ c p T i

50 h W H - m ˙ c p T = 50 h W H T S - m ˙ c p T i

T = 50 h W H T S - m ˙ c p T i 50 h W H - m ˙ c p

Passo 3

O coeficiente de transferência de calor, h, pode ser determinado pela expressão de Nusselt:

N u = h D h k

Onde,

-Dh é o diâmetro hidráulico;

-k é a condutividade térmica.

Dados da tabela para o ar, a T=300K:

k = 26,3 x 10 - 3 W m K ;   μ = 184,6 x 10 - 7 k g m s ;   ρ = 1,1614 k g m 3 ; P r = 0,707 ;   c p = 1007 J k g

Vamos precisar de correlações de Nusselt, apropriadas para o caso de transferência de calor em microcanais.

Considerando escoamento laminar com um fluxo completamente desenvolvido do gás, você pode usar a seguinte correlação empírica para Nusselt

N u = h D h k = 140 17 - 6 ζ + 2 3 ζ 2 + 70 Γ t

Onde, para os parâmetros da eq. acima, ζ e Γ, temos que

ζ = 6 Γ p 1 + 6 Γ p

Γ p = 2 - α p α p λ c l m D h

Γ t = 2 - α t α t λ c l m P r D h

Onde, λclm é o caminho livre médio do gás (ar)

Passo 4

O caminho livre médio do ar considerando este como um gás ideal, lembrando que para um gás ideal, o caminho livre médio pode ser determinado pela seguinte expressão:

λ c l m = k B T 2 π d 2 p

Onde, kB é a constante de Boltzmann e d é o diâmetro da molécula do ar

k B = 1,381 x 10 - 23 J K ; d = 0,372 n m = 0,372 x 10 - 9 m

Obs.: O diâmetro da molécula do ar, d, foi encontrado na Figura 2.8 do cap. 2 do Incropera.

Calculando o caminho livre médio

λ c l m = 1,381 x 10 - 23 J K ( 300   K ) 2 π 0,372 x 10 - 9 m 2 ( 101325   P a ) = 5,6 x 10 - 34 m

Passo 5

O diâmetro hidráulico Dh para este caso é definido como

D h = 2 a

Onde,

-a é a distância entre cada microcanal.

Essa distância entre cada microcanal pode ser determinado pegando o comprimento total do chip (10 mm) e diminuindo pela largura de cada microcanal (50μm), como é feito a seguir

a = 10 x 10 - 3 m - 50 ∙ 50 x 10 - 6 m = 0,0075   m

D h = 2 a = 0,015 m

Passo 6

Calculando os parâmetros:

Γ p = 2 - 0,9 0,9 5,6 x 10 - 34 m 0,015 m = 4,6 x 10 - 32

Γ t = 2 - 0,8 0,8 5,6 x 10 - 34 m 0,707 ⁡ ( 0,015 m ) = 7,9 x 10 - 32

ζ = 6 Γ p 1 + 6 Γ p = 2,74 x 10 - 31

Calculando o coeficiente de transferência de calor

h = 140 26,3 x 10 - 3 W m K ( 0,015   m ) 17 - 6 2,74 x 10 - 31 + 2 3 2,74 x 10 - 31 2 + 70 7,9 x 10 - 32

h = 14,44 W m 2 K

Passo 7

Calculando a temperatura na saída

T = 50 h W H T S - m ˙ c p T i 50 h W H - m ˙ c p

T = 50 14,44 W m 2 K 50 x 10 - 6 m 200 x 10 - 6 m 350 K - 10 - 6 k g s 1007 J k g ( 290 K ) 50 14,44 W m 2 K 50 x 10 - 6 m 200 x 10 - 6 m - 10 - 6 k g s 1007 J k g

T = 290   K

Passo 8

Assim, a potência dissipada pelo chip vai ser:

q = 50 h W H ( T S - T )

q = 50 14,44 W m 2 K 50 x 10 - 6 m 200 x 10 - 6 m ( 350 - 290 ) K

q = 4,33 x 10 - 4   W

Resposta

T = 290   K

q = 4,33 x 10 - 4   W

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