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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 57

Extend the steady fl ow between a fi xed lower plate and a

moving upper plate, from Fig. 1.7, to the case of two

immiscible liquids between the plates, as in Fig. P1.57.

h2

y

x h1 µ1

µ2

V

Fixed

P1.57

(a) Sketch the expected no-slip velocity distribution u(y)

between the plates. (b) Find an analytic expression for the

velocity U at the interface between the two liquid layers.

(c) What is the result of (b) if the viscosities and layer

thicknesses are equal?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) Da figura do fluxo viscoso induzido pelo movimento relativo entre duas placas paralelas, obtemos a informação de que a tensão de cisalhamento é constante entre as duas placas.

Daí a velocidade do perfil seria uma linha reta com diferentes inclinações em cada camada mostrada na Fig.1.

Passo 2

b) Fazendo u y = V como a velocidade da placa em movimento

velocidade na interface: U

velocidade da placa inferior fixa: u y = 0

distância da placa superior para a interface: h 2

distância da placa inferior para a interface: h 1

viscosidade da região superior: μ 2

viscosidade da região inferior: μ 1

tensão de cisalhamento na parede superior: τ 2

tensão de cisalhamento na parede inferior: τ 1

Passo 3

Já que não tem deslizamento nas paredes, a tensão cisalhante em ambas as paredes deve ser igual

τ 1 = τ 2

→ μ 1 U - 0 h 1 = μ 2 V - U h 2

Reorganizando para U

U = μ 2 V h 1 μ 1 h 2 + μ 2 h 1

Passo 4

c) Se as viscosidades e a camada de espessura são iguais

h 1 = μ 1

h 2 = μ 2

Então a velocidade na interface é

U = μ 2 V μ 1 μ 1 μ 2 + μ 2 μ 1

∴ U = V 2

Resposta

b)

U = μ 2 V h 1 μ 1 h 2 + μ 2 h 1

c)

U = V 2

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