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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 62

Trabalhe o Problema 5.47 para um cilindro de raio ro e comprimento L = 20 ro.

Passo 1

Primeiro, vamo resolver a primeira parte do item (a).

Pra isso, se a gente supor tempos muito longos ( F o > 0,2 ) podemos modelar a temperatura adimensional na superfície ( r * = R R = 1 ) a partir da equação:

ϴ S * = T S - T ∞ T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o ) J 0 ( ζ 1 r * )

Podemos também modelar a temperatura adimensional do eixo central a partir da equação:

ϴ 0 * = T 0 - T ∞ T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o )

Sendo   C 1 e ζ 1 coeficientes que podem ser calculados a partir da Tabela 5.1, F o o adimensional Número de Fourier.

Vamo então traçar um esboço do gráfico da variação de temperatura adimensional do cilindro, tanto para a superfície quanto para o eixo central do cilindro:

Vamo analisar esse gráfico juntos.

Em primeiro lugar, ao ser colocado um isolante no tempo adimensional F o 1 , o processo passa de um aquecimento convectivo para um processo adiabático.

Não se avexe, não! A gente vai analisar os dois processos separadamente e entender o que ocorre.

  1. Aquecimento Convectivo

    2. Devemos lembrar que a temperatura adimensional da superfície é igual a ϴ S * = T S - T ∞ / T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o ) J 0 ( ζ 1 r * ) , o que significa que quanto maior o tempo adimensional ( F o ), maior a temperatura da superfície ( T S ) . Isso quer dizer que mais a temperatura da superfície vai se aproximar da temperatura do fluido ( T ∞ ), diminuindo o gradiente de temperatura e a taxa de transferência de calor, e a temperatura adimensional da superfície vai decaindo exponencialmente.

    O mesmo ocorre com a temperatura adimensional do eixo central ( ϴ 0 * ) , com a única diferença de que, como B i = 1 e a resistência à transferência de calor por condução da superfície até o centro é significativa, a temperatura do centro aumenta a uma taxa menor que a temperatura da superfície, e portanto ϴ 0 * se mantém bem menor que ϴ S * .

  2. Processo Adiabático

Depois de colocar um isolante no cilindro no tempo F o 1 , não há mais transferência de calor do fluido para a superfície do cilindro. Começa, então, uma transferência de calor por condução da superfície para o eixo central.

Sendo assim, a temperatura T S diminui e, portanto, se distancia mais de T ∞ , aumentando ϴ S * . Por outro lado, T 0 continua aumentando, se aproximando de T ∞ , diminuindo ϴ 0 * .

O processo continua até que T S se iguale a T 0 ( ϴ 0 * = ϴ S * ), e o cilindro entre em equilíbrio térmico.

Passo 2

Vamo resolver agora a segunda parte do item (a).

Vamos olhar pra esse gráfico:

Os processos que tão acontecendo nesse gráfico são iguais àqueles que te mostrei no Passo 1. A diferença aqui é que o isolante seria colocado num tempo adimensional F o 2 , no qual o novo estado estacionário estaria na altura da linha tracejada que também marca a temperatura do centro no tempo F o 1 .

Com o processo seguindo de maneira igual ao do passo anterior, temos que F o 2 é um tempo adimensional que deve estar posicionado antes de F o 1 , pois seu estado estacionário (equilíbrio térmico) ocorre antes daquele obtido quando F o 1 é o ponto onde se coloca o isolante.

Logo, F o 2 < F o 1 .

Passo 3

Vamos resolver o item (b) agora.

Devemos achar uma expressão para ∆ F o considerando as condições dos Passos 1 e 2 e que que F o 2 = F o 1 + ∆ F o .

Vamos demonstrar uma relação entre a temperatura adimensional em F o 1 e a energia transferida em F o 2 .

Primeiramente, vamos relembrar a expressão para a razão entre quantidade de energia transferida e a máxima energia possível de ser transferida:

Q Q 0 = ∫ - T x . t - T i T i - T ∞ d V V = 1 V ∫ ( 1 - θ * ) d V

Ou seja, na prática, essa razão pode ser entendida, em termos de unidades, como uma temperatura adimensional.

Vamos analisar então o gráfico do Passo 2. Ele diz pra gente que a temperatura do eixo central no tempo F o 1 é igual à temperatura estacionária a partir do tempo F o 2 . Isso significa que, a partir de F o 2 , a energia transferida continua a mesma (já que o processo é adiabático, sem troca de calor) e, por isso, ϴ 0 * F o 1 =   θ * (   F o 2 ) , sendo θ * a temperatura adimensional que vimos na expressão acima.

Dessa maneira, podemos definir a seguinte expressão para uma relação entre a temperatura adimensional em F o 1 e a energia transferida em F o 2 :

ϴ 0 * F o 1 = 1 - Q Q 0 ( F o 2 )

A gente tem que lembrar também que podemos calcular a energia transferida a partir da expressão:

Q Q 0 = 1 - 2 ϴ 0 * ζ 1 J 1 ( ζ 1 )

Portanto, voltando à nossa expressão deduzida:

ϴ 0 * F o 1 = 1 - 1 - 2 ϴ 0 * ( F o 2 ) ζ 1 J 1 ζ 1 = 2 ϴ 0 * ( F o 2 ) ζ 1 J 1 ( ζ 1 )

Vamos lembrar, ainda, que F o 2 = F o 1 + ∆ F o e ϴ 0 * =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o )  

  C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o 1 ) = 2   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o 1 + ∆ F o ) ζ 1 J 1 ( ζ 1 )

Devemos usar a propriedade de exponenciais:

  C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o 1 ) = 2   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o 1 ) e x p ⁡ ( - ζ 1 ² ∆ F o ) ζ 1 J 1 ( ζ 1 )

Vamos isolar e x p ⁡ ( - ζ 1 ² ∆ F o ) :

e x p ⁡ ( - ζ 1 ² ∆ F o ) =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o 1 )   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o 1 ) ζ 1 2 J 1 ( ζ 1 ) = ζ 1 2 J 1 ( ζ 1 )

Vamos aplicar l n em ambos os lados da equação:

ln ⁡ e x p ⁡ ( - ζ 1 ² ∆ F o ) = ln ⁡ ζ 1 2 J 1 ( ζ 1 ) → - ζ 1 ² ∆ F o = ln ⁡ ζ 1 2 J 1 ( ζ 1 )

Sendo assim, nossa expressão para ∆ F o se torna:

∆ F o = - 1 ζ 1 ² ln ⁡ ζ 1 2 J 1 ( ζ 1 )

Se utilizarmos as condições dadas na questão, fazendo B i = 1,0 , teremos que, pela Tabela 5.1, ζ 1 =   1,2558 .

Sendo assim, ao irmos à Tabela B.4, podemos calcular que J 1 1,2558 =   0,512 .

Logo, o valor de ∆ F o pode ser calculado como:

∆ F o = - 1 1,2558 2 ln ⁡ 1,2558 2 0,512 = - 0,1294

Passo 4

Pra finalizar, vamos resolver o item (c) agora.

Devemos calcular o valor de ∆ F o para diversos valores de B i .

∆ F o = - 1 ζ 1 ² ln ⁡ ζ 1 2 J 1 ( ζ 1 )

O procedimento é análogo ao que a gente fez no passo anterior. Vamos à Tabela 5.1 com o valor de B i , e buscamos o valor de ζ 1 . Depois, vamos na Tabela B.4, e buscamos os valores de J 1 ( ζ 1 ) .

Fazendo isso para todos os valores de Biot pedidos pelo enunciado, a gente pode montar a seguinte tabelinha:

UFA! Demorou, mas a gente matou a questão!

Resposta

(a) Os esboços gráficos para as condições dadas são:

(b) Deduzimos a seguinte expressão: ∆ F o = - 1 ζ 1 ² ln ⁡ ζ 1 2 J 1 ( ζ 1 ) e, para Bi = 1, ∆ F o = - 0,1294 .

(c)

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