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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 93

Na Figura P2.93, uma carcaça esférica de um quadrante de raio R está submersa em líquido de peso específico gama e profundidade h > R. Encontre uma expressão analítica para a força hidrostática resultante, e sua linha de ação, sobre a superfície da carcaça

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos uma carcaça esférica de raio R , submersa em um líquido de peso específico γ a uma profundidade h maior que o raio.

Temos três coordenadas e, portanto, três direções da força hidrostática atuando nesse sistema: F x , F y , F z .

Note que F x e F y têm magnitude igual, pois eles são componentes horizontais desse sistema. Sendo assim:

F x = F y = γ h C G A p r o j

Sendo:; h C G a distância do centro de massa com relação à superfície livre; e A p r o j a área projetada, que é utilizado para calcular as componentes de força hidrostática horizontais.

Para calcular h C G , devemos lembrar que o centroide para ¼ de círculo é 4 R / 3 π Portanto, o centroide desse sistema está localizado a uma distância h - 4 R / 3 π da superfície livre.

A área projetada na componente vertical desse sistema será a de ¼ de círculo em um plano bidimensional, que é A p r o j = π 4 R ² .

Portanto, chegamos a:

F x = F y = γ   h - 4 R 3 π π 4 R ²

Passo 2

Agora, devemos calcular a componente F z . Como esta é uma componente vertical, podemos calcular sua magnitude como se estivéssemos subtraindo o peso de um quadrante esférico (1;8 de uma esfera) de um cilindro de raio R e altura h . Sendo assim, teremos:

F z = W c i l i n d r o - W e s f e r a =   γ π 4 R 2 h -   γ 1 8 4 3 π R ³

F z = γ   π 4 R 2 h - 2 3 R

Passo 3

Por fim, vamos calcular a força hidrostática F resultante dessas três componentes. Basta tirar o módulo desse vetor:

F = F x 2 + F y 2 + F Z 2

F = γ   π 4 R 2   h - 4 R 3 π 2 + h - 2 3 R 2

Nós sabemos que F deve passar necessariamente pelo centro da esfera e, portanto, isso é tudo que precisamos saber sobre a linha de ação dessa força.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A expressão analítica para a força hidrostática é F = γ   π 4 R 2   h - 4 R 3 π 2 + h - 2 3 R 2 , com sua linha de ação passando pelo centro da esfera.

Ver Outros Exercícios desse livro

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