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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 8

Um fluido escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. O escoamento é completamente desenvolvido e laminar. A distância entre as placas é h .

(a) Deduza uma equação para a tensão de cisalhamento como uma função de y . Trace um gráfico dessa função.

(b) Para μ = 1,15   N . s / m 2 , ∂ p / ∂ x = 58   P a / m e h = 1,3   m m , calcule a máxima tensão de cisalhamento em Pa.

Passo 1

Tá legal, na condição descrita no enunciado, podemos utilizar a equação 8.7 vista nesse capítulo, dada por:

u = a 2 2 μ ∂ p ∂ x y a 2 - 1 4

E, conforme vimos, devemos considerar a coordenada inicial em y como sendo a linha de centro do escoamento. Agora, sabemos também que a tensão de cisalhamento será dada por:

τ y x = μ . d u d y

Então, precisamos encontrar a expressão para a derivada da velocidade com relação a y . Então, teremos:

d u d y = a 2 2 μ ∂ p ∂ x 2 y a 2 → d u d y = y μ ∂ p ∂ x

Então, substituindo essa expressão na equação de cima, temos:

τ y x = μ y μ ∂ p ∂ x → τ y x = y . ∂ p ∂ x

Passo 2

Agora, analisando a expressão obtida no passo 1, sabemos que quando temos u > 0 → ∂ p ∂ x > 0 , então, com relação a y , temos:

y > 0 → τ y x > 0

y < 0 → τ y x < 0

Dessa forma o gráfico dessa função será negativo para y < 0 e positivo para y > 0 , e linear, então, teremos:

Passo 3

E, sabemos que a tensão de cisalhamento máxima ocorre na parede (outra coisa que podemos confirmar através do gráfico do passo 2), então, para y = h / 2 temos:

τ y x m a x = y ∂ p ∂ x

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

τ y x m a x = h 2 ∂ p ∂ x = 1,3.10 - 3 2 58 → τ y x m a x = 3,77.10 - 2   P a / m

E, para y = - h / 2 , teremos o mesmo valor em módulo, só que com sinal negativo.

Resposta

τ y x = y . ∂ p ∂ x

τ y x m a x = 3,77.10 - 2   P a / m 2

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