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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 157

O fluido manométrico da Figura P3.157 é o mercúrio. Calcule a vazão volumétrica no tubo se o fluido que escoa é (a) gasolina e (b) nitrogênio a 20°C e 1 atm.

Passo 1

Antes de tudo, pra ficar mais fácil, vamos especificar alguns pontos no sistema:

O ponto 1 lê a pressão estática do sistema e o ponto 2, que é o tubo de Pitot, lê a pressão de estagnação.

Agora que especificamos estes pontos podemos fazer a consideração que no ponto 2 a velocidade do fluido será zero ( V 2 = 0 ), porque é um ponto de estagnação.

Mais uma coisinha antes de ir pro próximo passo, o problema disse que tanto a gasolina quanto o nitrogênio estão a 20°C e a 1 atm, logo, a gente pode conseguir as suas densidades. Para a gasolina basta uma pesquisa, mas lembre de utilizar as condições de temperatura e pressão especificadas. Pesquisando aqui achei que ρ g a s o l i n a = 715 k g m 3 .

Para o nitrogênio vai ser um pouco mais complicado porque nestas condições ele é um gás, então precisaremos recorrer a equação dos gases ideais, onde:

ρ = p M M R T

Como o exercício já nos deu a pressão e a temperatura (lembrando de converter a pressão para Pascal p = 101325   P a e a temperatura para Kelvin T = 293   K ) só vamos precisar da constante dos gases e a massa molar do nitrogênio. A massa molar do nitrogênio é M M n i t r o g ê n i o = 28,00 k g k m o l e a constantes do gases é R = 8,314 k J k m o l * K = 8314 J k m o l * K . Agora é só substituir:

ρ n i t r o g ê n i o = p M M n i t r o g ê n i o R T = 101325 * 28,00 8314 * 293

ρ n i t r o g ê n i o = 1,165 k g m 3

Passo 2

A vazão volumétrica é escrita da seguinte maneira:

Q = V * A

Onde V é a velocidade e A é a área da seção transversal. Como o exercício pede a vazão volumétrica no tubo, vamos precisar encontrar V no ponto 1. A área da seção transversal nesse ponto pode ser escrita (lembrando que o diâmetro nesta região é D = 75   m m = 0,075   m ):

A 1 = π R 1 2 = π D 1 2 4 = π 0,075 2 4 = 0,00442   m 2

Passo 3

Agora, pra gente conseguir prosseguir vamos precisar achar V 1 , mas pra isso é só aplicar Bernoulli entre dois pontos e obviamente vamos fazer isso entre os pontos 1 e 2, e melhor ainda, vamos aplicar em uma região onde z 1 = z 2 , ou seja, os termos com a altura na equação de Bernoulli se anularam ( ∆ z = 0 ). Lembrando também que V 2 = 0 :

p 1 + ρ 2 V 1 2 + ρ g z 1 = p 2 + ρ 2 V 2 2 + ρ g z 2

p 1 + ρ 2 V 1 2 = p 2

Onde ρ é a densidade da gasolina ou do nitrogênio.

Isolando V 1 :

V 1 = 2 * p 2 - p 1 ρ

E agora, quais seriam as pressões? Bom, isto é simples, basta saber que as pressões no ponto 1 e 2 vão ser as mesmas que as pressões nos pontos A e B abaixo:

Com isso em mente é só calcular a pressão hidrostática entre os pontos A e B que vamos encontrar direto o termo p 2 - p 1 .

p B - p A = ( ρ m e r c ú r i o - ρ ) g h

A densidade do mercúrio é ρ m e r c ú r i o = 13600 k g m 3 , a altura em metros h = 0,025   m , a aceleração da gravidade g = 9,81 m s 2 e p B - p A = p 2 - p 1

p 2 - p 1 = 13600 - ρ * 9,81 * 0,025

Substituindo essa igualdade no valor de V 1 :

V 1 = 2 * p 2 - p 1 ρ = 2 * 13600 - ρ * 9,81 * 0,025 ρ = 0,4905 * 13600 - ρ ρ

Passo 4

Pessoal, a partir daqui nós vamos ter dois casos, um pra gasolina e outro para o nitrogênio, e a única coisa que vai mudar será a densidade.

Começando com a gasolina:

V 1 = 0,4905 * 13600 - ρ g a s o l i n a ρ g a s o l i n a = 0,4905 * 13600 - 715 715 = 2,97 m s

Para o nitrogênio vai ficar:

V 1 = 0,4905 * 13600 - ρ n i t r o g ê n i o ρ n i t r o g ê n i o = 0,4905 * 13600 - 1,165 1,165 = 75,67 m s

Passo 5

Agora é só achar as vazões volumétricas. Começando com a gasolina:

Q g a s o l i n a = V 1 * A 1 = 2,97 * 0,00442 = 0,013 m 3 s

E para o nitrogênio a vazão é:

Q n i t r o g ê n i o = V 1 * A 1 = 75,67 * 0,00442 = 0,334 m 3 s

Resposta

Para a gasolina V 1 Q g a s o l i n a = 0,013 m 3 s , para o nitrogênio Q n i t r o g ê n i o = 0,334 m 3 s .

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