Foi sugerido, no projeto de um “sprinkler” agrícola, que um elemento estrutural fosse mantido fixo por meio de um arame esticado ao longo da linha de centro de um tubo; acreditava-se que um arame relativamente fino teria pouco efeito sobre a queda de pressão para uma dada vazão. Usando o resultado do Problema 8.56, deduza uma expressão que dê a variação percentual em queda de pressão como uma função da razão entre o diâmetro do arame e o diâmetro do tubo para escoamento laminar. Trace um gráfico da variação percentual na queda de pressão como uma função da razão de raios k para 0,001 k 0,10.

Passo 1

O problema a ser avaliado exigirá o uso da expressão de vazão obtida na questão 8.56 (escoamento laminar completamente desenvolvido em espaço anular formado por dois cilíndricos, especificamente o tubo e o arame):

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k

A partir da expressão de Q é pedida a variação percentual de queda de pressão. Sabendo das características do escoamento (escoamento completamente desenvolvido em tubo), a queda de pressão ao longo do tubo é dada por:

∆ p   L = - ∂ p ∂ x

Já a variação de pressão pode ser escrita como:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = ∆ p   L k ≠ 0 - ∆ p   L k → 0 ∆ p   L k → 0

Passo 2

O cálculo da queda de pressão exigirá escrever o termo ∂ p / ∂ x a partir da expressão da vazão:

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k

- ∂ p ∂ x = 8 μ Q π R 4 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k  

Então, a queda de pressão ao longo do tubo, para k ≠ 0 é:

∆ p   L k ≠ 0 = 8 μ Q π R 4 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k

Já para k → 0 (valor de k tendendo a zero) a queda de pressão é expressa por:

∆ p   L k → 0 = 8 μ Q π R 4 1 - 0 4 - ( 1 - 0 2 ) ln ⁡ 1 / k

∆ p   L k → 0 = 8 μ Q π R 4 1 - 1 ln ⁡ 1 / k

O termo ln ⁡ 1 / k , quando k → 0 , é um valor que cresce tendendo ao infinito, de forma que:

1 ln ⁡ 1 / k k → 0 ≅ 0

Assim:

∆ p   L k → 0 = 8 μ Q π R 4

Passo 3

Calculando a variação percentual da queda de pressão:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = ∆ p   L k ≠ 0 - ∆ p   L k → 0 ∆ p   L k → 0

E sabendo as expressões de ∆ p   L k ≠ 0 e ∆ p   L k → 0 , tem-se que:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o = 8 μ Q π R 4 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k - 8 μ Q π R 4 8 μ Q π R 4

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = 8 μ Q π R 4 1 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k - 1 8 μ Q π R 4

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o = 1 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k - 1

Realizando o mínimo múltiplo comum:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o = 1 - 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k 1 - k 4 - ( 1 - k 2 ) ln ⁡ 1 / k

Passo 4

Em considerando k muito pequeno (conforme apresentado pelo enunciado) a expressão da variação de queda de pressão obtida no Passo 3 pode ser simplificada, pois:

k 2 ≈ 0

k 4 ≈ 0

Assim:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = 1 - 1 - 0 - ( 1 - 0 ) ln ⁡ 1 / k 1 - 0 - ( 1 - 0 ) ln ⁡ 1 / k

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = 1 ln ⁡ 1 / k 1 - 1 ln ⁡ 1 / k

É possível reescrever o termo ln ⁡ 1 / k :

ln ⁡ 1 / k = ln ⁡ 1 - ln ⁡ k = - ln ⁡ k - ln ⁡ 1 = - ln ⁡ k

Então, conclui-se que para k muito pequeno a variação de queda de pressão é dada por:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o = 1 - ln ⁡ k 1 + 1 ln ⁡ k

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   = - 1 ln ⁡ k 1 + 1 ln ⁡ k

Considerando, em termos percentuais, a variação de queda de pressão é definida como:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   ( % )   = - 1 ln ⁡ k 1 + 1 ln ⁡ k × 100

Passo 5

Considerando o intervalo de k para 0,001 k 0,10 (valor muito pequeno) é possível avaliar o comportamento da variação de queda de pressão com a alteração de k , segundo expressão obtida no Passo 4, conforme a Tabela e Figura que se seguem:

Resposta

Para k muito pequeno a expressão da variação percentual de queda de pressão é dada por:

V a r i a ç ã o   d a   q u e d a   d e   p r e s s ã o   ( % )   = - 1 ln ⁡ k 1 + 1 ln ⁡ k × 100

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