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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 68

Querosene é bombeado através de um tubo liso com diâmetro interno D = 30 mm, na proximidade do número de Reynolds crítico. O escoamento é instável e flutua entre os estados laminar e turbulento, fazendo com que o gradiente de pressão varie intermitentemente de -4,5 kPa/m a -11 kPa/m, aproximadamente. Que gradiente de pressão corresponde ao escoamento laminar e ao escoamento turbulento? Para cada escoamento, calcule a tensão de cisalhamento na parede do tubo e trace as distribuições de tensão de cisalhamento.

Passo 1

Neste problema o escoamento está em uma faixa de instabilidade, tendo comportamento laminar e turbulento, o que implica em variação de gradiente de pressão.

Assim dois gradientes de pressão foram medidos:

∂ p 1 ∂ x = - 4,5   k P a / m  

∂ p 2 ∂ x = - 11   k P a / m  

Com tais informações, o objetivo é definir qual gradiente de pressão corresponde ao escoamento laminar e turbulento.

Para isso deverá ser calculado a tensão de cisalhamento do tubo para os dois gradientes de pressão, pois sabe-se que em escoamentos turbulentos há a presença de tensões adicionais.

Considerando escoamento completamente desenvolvido, a tensão de cisalhamento é dada por:

τ r x = r 2 ∂ p ∂ x  

Passo 2

Usando a expressão da tensão de cisalhamento e aplicando-a para os dois gradientes de pressão.

- τ r x 1

τ r x 1 = r 2 ∂ p 1 ∂ x  

τ r x 1 = D 2 2 ∂ p 1 ∂ x  

τ r x 1 = D 4 ∂ p 1 ∂ x  

Usando os valores numéricos de D = 30   m m e ∂ p 1 / ∂ x = - 4,5   k P a :

τ r x 1 = 30 × 10 - 3 4 ( - 4,5 × 10 3 )  

τ r x 1 = - 33,75   P a  

- τ r x 2

τ r x 2 = D 4 ∂ p 2 ∂ x  

Usando os valores numéricos de D = 30   m m e ∂ p 2 / ∂ x = - 11   k P a :

τ r x 2 = 30 × 10 - 3 4 ( - 11 × 10 3 )  

τ r x 2 = - 82,50   P a  

Note que o sinal negativo do termo τ r x 1 e τ r x 2 indica o sentido de atuação da tensão de cisalhamento, o qual é contrário ao escoamento.

Passo 3

Avaliando o resultados calculados de tensão de cisalhamento, nota-se que:

τ r x 2 = 82,50 > τ r x 1 = 33,75    

Com tal informação pode-se afirmar que: ∂ p 1 / ∂ x corresponde ao escoamento laminar e ∂ p 2 / ∂ x ao escoamento turbulento.

Passo 4

Segundo a teoria, para escoamentos completamente desenvolvidos, laminares ou turbulentos, a tensão de cisalhamento varia linearmente através do tubo, desde zero, na linha de centro, até o valor máximo na parede do tubo.

Graficamente, para os casos avaliados, o comportamento de tensão de cisalhamento ao longo do raio do tubo até sua parede é visto por:

Resposta

- gradiente de pressão ∂ p 1 / ∂ x : regime laminar;

- gradiente de pressão ∂ p 2 / ∂ x : regime turbulento;

- tensão de cisalhamento na parede (para ∂ p 1 / ∂ x )

τ r x 1 = - 33,75   P a  

- tensão de cisalhamento na parede (para ∂ p 2 / ∂ x )

τ r x 2 = - 82,50   P a  

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