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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 26

For gases that undergo large changes in height, the linear

approximation, Eq. (2.14), is inaccurate. Expand the troposphere power-law, Eq. (2.20), into a power series, and

show that the linear approximation p

δz !

2T0

(n 2 1)B

where n 5

g

RB

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A pressão padrão para gases é dada por,

p = p a 1 - B z T 0 g / R B

Substitua n por g R B na equação

A expansão em série de potências de 1 - B z T 0 n é,

1 - B z T 0 n   = 1 - n B z T 0 + n ( n - 1 ) 2 ! B z T 0 2 - …   = 1 - n B z T 0 1 - ( n - 1 ) 2 ! B z T 0 - …

A equação torna-se,

p = p a 1 - n B z T 0 1 - ( n - 1 ) 2 ! B z T 0 - … p = p a - n p a B z T 0 1 - ( n - 1 ) 2 ! B z T 0 - …

Passo 2

Substitua g R B por n ,

n p a B z T 0   = g R B p a B z T 0   = p a R T 0 g z   = ρ a g z

Das equações,

p = p a - ρ a g z 1 - ( n - 1 ) 2 B z T 0 - …

Para a aproximação linear, o segundo termo deve ser muito menor do que unidade.

( n - 1 ) 2 B z T 0 ≪ < 1

Neste caso, se z ≠ 0 então nós substituímos z por δ z .

Agora, a relação acima se torna,

( n - 1 ) 2 B δ z T 0 = 1 δ z = 2 T 0 ( n - 1 ) B

Passo 3

Quando, a ( n - 1 ) 2 B δ z T 0 = 1 relação é verdadeira, a equação se torna,

p = p a - ρ a g z 1 - ( n - 1 ) 2 B z T 0 - … p ≈ p a - ρ a g z

Portanto, quando δ z = 2 T 0 ( n - 1 ) B , então a aproximação da linear p ≈ p a - ρ a g z é adequada.

Resposta

δ z = 2 T 0 ( n - 1 ) B

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