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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 49

Foram desenvolvidos muitos equipamentos comerciais e de laboratório para medir viscosidade, como descrevem as Referências 29 e 49 . Considere um eixo concêntrico, como no Problema 1.47 , mas agora fixado axialmente e girando no interior do mancal. Sejam os raios interno e externo dos cilindros r i e r o , respectivamente, tendo o mancal um comprimento total L . Seja a velocidade angular Ω   ( r a d / s ) e seja M o torque aplicado. Usando esses parâmetros, deduza uma relação teórica para a viscosidade μ do fluido na folga entre os cilindros.

Passo 1

Primeiro vamos fazer um esquema da nossa questão para ilustrar nosso problema:

Nossa questão nos pede a dedução da viscosidade μ em função dos parâmetros dados, bora resolver isso!

Passo 2

Vamos assumir que a distribuição de velocidade é linear para o fluído, para facilitar nosso trabalho!

Assim temos:

τ = μ ⋅ Δ V Δ r ≈ μ ⋅ Ω r i r o - r i

Essa tensão resulta em uma força d F = τ d A = τ r i d θ L em cada elemento de área na superfície do eixo então vamos integrar.

Mas temos que lembrar que d M = r i d F

Passo 3

Vamos integrar nossa equação, assim temos:

M = ∫ r i ⋅ d F = ∫ 0 2 π r i ⋅ μ ⋅ Ω r i r o - r i ⋅ r i ⋅ L ⋅ d θ

Integrando:

M = 2 ⋅ π ⋅ μ ⋅ Ω ⋅ r i 3 ⋅ L r o - r i

Vamos isolar o coeficiente de viscosidade μ , para matarmos essa questão de vez!

μ =   M r o - r i 2 π μ Ω r i 3 L

Isso é tudo pessoal, essa foi rápida! \o/

Resposta

μ =   M r o - r i 2 π μ Ω r i 3 L

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