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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 28

Considere o campo de velocidade do Problema 2.20. Trace a linha de emissão formada por partículas que passaram pelo ponto ( 1 ,   1 ) durante o intervalo de tempo de t   =   0 a t   =   3   s . Compare com as linhas de corrente traçadas através do mesmo ponto nos instantes t   =   0 , 1 e 2   s .

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiro, temos que encontrar as as equações para trajetória na forma:

x p t = x t , x 0 , y 0 , t 0

y p ( t ) = y ( t , x 0 , y 0 , t 0 )

Onde x 0 , y 0 é a posição da partícula no instante t = t 0 . Com isso, temos:

x e t 0 = x t , x 0 , y 0 , t 0

y e ( t 0 ) = y ( t , x 0 , y 0 , t 0 )

Passo 2

Agora, para determinarmos a trajetória, vamos encontrar x ( t ) :

d x d t = u = B x 1 + A t v = d y d t = C y

Separando as variáveis e integrando:

ln ⁡ x x 0 = B t - t 0 + A t 2 - t 0 2 2   x = x 0 e B t - t 0 + A t 2 - t 0 2 2  

y = y 0 e C t - t 0    

Logo, as trajetórias são dadas por:

x t t = x 0 e B t - t 0 + A t 2 - t 0 2 2   y t ( t ) = y 0 e C t - t 0    

Passo 3

Agora, para a linha de emissão, temos:

x l e t = x 0 e B t - t 0 + A t 2 - t 0 2 2   y l e ( t ) = y 0 e C t - t 0    

Onde x 0 = y 0 = 0 . Logo:

x l e t 0 = u 0 t - t 0 y l e t 0 = v 0 sin ⁡ ω t 0 ( t - t 0 )

Passo 4

Por fim, temos que a equação das linhas de corrente são dadas por: v u = d y d x = C y B x 1 + A t 1 + A t d y y = C B d x x

Integrando:

1 + A t ln ⁡ y = C B ln ⁡ x + c y 1 + A t = c x C B  

Para a particula no ponto ( 1,1 ) no instante t = 0 , temos:

y = x

Já para t = 1   s :

y = x 2 3

E para t = 2   s :

y = x 1 2

Com isso, nosso gráfico fica assim:

Resposta

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