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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 36

Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade = at + b , em que a   =   0,4   m / 2 e b   =   2   m / s . Em t   =   2   s , quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (2, 1) em t = 0? Em t   =   3   s , quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto ( 2 ,   1 ) em t   =   2   s . Trace a linha de emissão e a trajetória pelo ponto ( 2 ,   1 ) e compare com as linhas de corrente passando pelo mesmo ponto nos instantes t   =   0 , 1 e 2   s .

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiro, temos que determinar a trajetória, temos:

u = d x d t = a t v = d y d t = b

Separando as variáveis e integrando:

d x = a t   d t x - x 0 = a 2 ( t 2 - t 0 2 )

d y = b   d t

y = y 0 + b t - t 0

Logo, as posições são dadas por:

x p t = x 0 + a 2 ( t 2 - t 0 2 ) y p ( t ) = y 0 + b t - t 0

Com isso, precisamos encontrar a posição da partícula nos instantes pedidos. Para x 0 , y 0 = ( 2 , 1 ) , t 0 = 0 e t = 2   s , temos:

x p t = x 0 + a 2 t 2 - t 0 2 = 2,8   m y p t = y 0 + b t - t 0 = 5   m

Para x 0 , y 0 = ( 2 ,   1 ) , t 0 = 2 s e t = 3   s :

x p t = x 0 + a 2 t 2 - t 0 2 = 3   m y p t = y 0 + b t - t 0 = 3   m

Passo 2

Para as linhas de emissão, temos:

x t 0 = x 0 + a 2 ( t 2 - t 0 2 ) x ( t 0 ) = y 0 + b t - t 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a equação das linhas de corrente. Para isso, temos que:

v u = d y d x = b a t

Separando as variáveis e integrando:

b a t   d x =   d y y - y 0 = b a t ( x - x 0 )  

Subsituindo x 0 = 2 e y 0 = 1 , ficamos com a solução da seguinte forma:

y = 5 x - 2 t + 1

Passo 4

Por fim, nossos gráfcmos ficam assim:

Resposta

x p t = 2,8   m y p ( t ) = 5   m

x p t = 3   m

y p t = 3   m

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