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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 22

Considere o campo de velocidades V → = a x î + b y ( 1   +   c t ) j ^ , em que a = b = 2   s - 1 e c = 0,4   s - 1 . As coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto ( x ,   y ) =   ( 1 ,   1 ) no instante t   =   0 , trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 1,5   s . Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t   =   0 , 1 e 1,5   s .

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Este problema nos pede a trajetória da partícula que passou pelo ponto ( 1 ,   1 ) no instante t = 0 . Temos que as trajetórias são dadas por:

u = d x d t = a x v = d y d t = b y ( 1 + c t )

Onde:

a = 2   s - 1 b = 2   s - 1 c = 0,4   s - 1

Separando as variáveis:

d x x = a   d t d y y = b ( 1 + c t )   d t

Integrando:

ln ⁡ x x 0 = a t x 0 = 1   m

Para y :

ln ⁡ y y 0 = b t + 1 2 c t 2 y 0 = 1   m  

Consequentemente:

x t = x 0 e a t                             y t = e b t + 1 2 c t 2

Substituindo:

x t = e 2 t                             y t = e 2 t + 0,4   t 2

Passo 2

Para a equação das linhas de corrente:

v u = d y d x = - b y ( 1 + c t ) a x d y y = b ( 1 + c t ) a x d x

Integrando: ln ⁡ y y 0 = b a 1 + c t ln ⁡ x x 0 y = y 0 x x 0 b a 1 + c t

Agora, substituindo para t = 0 :

y = y 0 x x 0 b a ( 1 + c t )   = x

Já para t = 1 :

y = y 0 x x 0 b a ( 1 + c t ) = x 1,4

E para t = 1,5 :

y = y 0 x x 0 b a ( 1 + c t )   = x 1,6

Portanto, nossos gráficos ficam assim:

Resposta

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