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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 92

Um automóvel de 1.500 kg utiliza sua área de arrasto CAA = 0,4 m2, além de freios e paraquedas, para reduzir a velocidade de 50 m/s. Seus freios aplicam 5.000 N de resistência. Admita ar padrão ao nível do mar. Se o automóvel deve parar em 8 s, qual o diâmetro apropriado do paraquedas?

Passo 1

E E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos um automóvel de massa m = 1500   k g , com uma área de arrasto C A , c A = 0,4   m ² com freios e paraquedas usados pra reduzir sua velocidade inicial de V 0 = 50   m / s .

Seus freios aplicam uma resistência de F f r e i o = 5000   N , parando em um tempo t = 8   s . Sendo assim, o enunciado nos pede pra encontrar o diâmetro D P do paraquedas.

Esse diâmetro pode ser encontrado fazendo um balanço de forças considerando a força de arrasto a soma das forças de arrasto do paraquedas F A , p e do carro F A , c , além do atrito dos freios F f r e i o

Nos próximos passos, eu vou te mostrar como encontrar a expressão pra D P e como encontrar o resultado numérico para as grandezas dadas pelo enunciado.

Mas antes da gente ir pro Passo 2, vamos lembrar que para o ar à temperatura ambiente, a massa específica do ar será ρ = 1,2 k g m 3 .

Agora sim, vem comigo pra gente matar esse problema juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos fazer um balanço de forças entre a força do freio F f r e i o e as forças de arrasto F A , c e F A , p . Sabemos que essas duas forças devem ser iguais à força devido à velocidade do carro parando, mas com sentido contrário:

m d V d t = - F f r e i o - F A , c - F A , p

Onde a força de arrasto do carro á dada é:

F A , c = C A , c A ρ 2 V 2 = 0,4   m ² 1,2   k g / m ³ 2 V 2 = 0,24 V ²

E onde a força de arrasto do paraquedas é dada por:

F A , p = C A , p ρ 2 V 2 π 4 D p 2

Sendo que podemos achar C A , p na Tabela 7.3, página 495, onde podemos achar o coeficiente de arrasto para um paraquedas como C A , p = 1,2 .

Substituindo na equação acima:

F A , p = 1,2 1,2   k g / m ³ 2 V 2 π 4 D p 2 = 0,56 D p 2 V ²

Substituindo na equação acima:

F A , p = 1,2 1,2   k g / m ³ 2 V 2 π 4 D p 2 = 0,56 D p 2 V ²

Passo 3

Substituindo as expressões que achamos no passo anterior no balanço de forças:

1500 d V d t = - 5000 - 0,24 V 2 - 0,56 D p 2 V 2

d V d t = - 3,33 - 1,6 × 10 - 4 + 3,73 × 10 - 4 D p 2 V 2

Pra resolver essa EDO, devemos separar as variáveis e integrar a velocidade de V 0 a uma velocidade V = 0 (pois o carro está parando) e o tempo de t = 0 até um tempo t = 8   s qualquer:

- ∫ 0 t d t = ∫ V 0 0 d V 3,33 + 1,6 × 10 - 4 + 3,73 × 10 - 4 D p 2 V 2

Resolvendo essa integral, iremos obter:

t = 8   s = 1 5,32 × 10 - 4 + 1,24 × 10 - 3 D p 2 tg ⁡ 50 8,8 × 10 - 5 + 1,12 × 10 - 4 D p 2

Dessa forma, podemos resolver essa equação numericamente e encontrar um valor para o diâmetro de paraquedas igual a:

D P ≈ 3,9   m

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O diâmetro apropriado do paraquedas é D P ≈ 3,9   m

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