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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 66

Uma esfera de massa específica ρ e e diâmetro D cai em um fluido de massa específica ρ e viscosidade μ , partindo do repouso. Admitindo um coeficiente de arrasto constante C A o , deduza uma equação diferencial para a velocidade de queda V ( t ) e mostre que a solução é:

V = 4 g D d - 1 3 C A o 1 2 tanh ⁡ C t

C = 3 g C A o d - 1 4 S 2 D 1 2

Em que d = ρ e / ρ é a densidade do material da esfera.

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos encarar juntos mais um desafio de mecflu? Então boraaaa!!!!

Antes de mais nada, vamos desenhar nosso problema pra entender o que está acontecendo!

É importante dizer que o problema diz que a esfera parte do repouso, mas ela não está em repouso, ou seja, o somatório das forças tem que ser igual a massa dela vezes a aceleração, certo?

W - E - A = m   a

Onde W = f o r ç a   p e s o ,   A = f o r ç a   d e   a r r a s t o ,   E = e m p u x o

Passo 2

Vamos agora abrir nossa equação, beleza? Vamos explicitar a força de arrasto, a massa, e a aceleração!!!

W - E - C D ρ 2   V 2 A = W g d V d t

Onde sabemos que a nossa área é dada por: π 4 D 2

W - B = ρ S - 1 g π 6 D 3

Vamos rearranjar as paradas de forma a obtermos d V d t = β - α V 2

β = g 1 - 1 S                     α = ρ g C D A 2 W

Passo 3

Agora é só separarmos as variáveis e integrarmos!!

∫ d t = ∫ d V β - α V 2

V = β α tanh ⁡ t α β = V f i n a l tanh ⁡ C t

Onde V f i n a l = 4 g D S - 1 3 C D 1 2 e também que C = 3 g C D S - 1 4 S 2 D 1 2

Resposta

V = β α tanh ⁡ t α β = V f i n a l tanh ⁡ C t

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