Glycerin at 208C fills the space between a hollow sleeve of

diameter 12 cm and a fi xed coaxial solid rod of diameter

11.8 cm. The outer sleeve is rotated at 120 rev/min.

Assuming no temperature change, estimate the torque required, in N · m per meter of rod length, to hold the inner

rod fixed.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considerando o seguinte diagrama que representa o perfil de velocidade em um espaço anelar

Passo 2

Obtendo a viscosidade dinâmica da glicerina à 20 ° C

μ = 1,49   N ⋅ s / m 2

Considerando que a parte externa rotaciona a uma velocidade de 120   R P M

Calculando a velocidade angular

ω = 2 π N 60

Aqui, a velocidade do cilindro é N

Substituindo os valores

ω = 2 π 120   r p m 60

→ ω = 12,56   r a d / s

Passo 3

Calculando a velocidade linear da roda usando

v = r 0 ω

Aqui, a velocidade linear é v e o diâmetro é r 0

Substituindo valores

v = 6 ⋅ 10 - 2 12,56

→ v = 0,7536   m / s

Passo 4

Calculando a distancia entre as rodas

h = d 0 - d i 2

onde, d 0 é o diâmetro oco

Substituindo valores

h = 12 - 11,7 2

→ h = 0,001   m

Passo 5

Calculando a tensão de cisalhamento na glicerina usando

τ = μ v h

Aqui, τ é a tensão de cisalhamento desenvolvida na glicerina e μ é a viscosidade dinâmica da glicerina

Substituindo valores

τ = 1,49 ⋅ 0,7536 0,001

→ τ = 1122,864   N / m 2

Passo 6

Calculando a força de cisalhamento agindo paralelamente à roda da superfície

F = τ A = 2 τ π r 0 l

→ F l = 2 τ π r 0

Aqui, F é a força cisalhante e A é a área da superfície

Substituindo valores

F l = 1122,864 ⋅ 2 ⋅ 0,06

→ F l = 423,31   N / m

Passo 7

O cilindro interno rotaciona à respeito da rotação da manga, devido à tensão cisalhante induzida na parte de glicerina.

A força cisalhante agindo na manga é igual a força cisalhante agindo no cilindro interno.

Para fazer o cilindro interno rígido, temos que aplicar um torque contrário ao cilindro interno.

Calculando o torque por unidade de comprimento necessário para segurar a manga interna rígida:

T = F l r 0

Aqui, T é o torque por unidade de comprimento e r é o raio da roda interna

Substituindo valores

T = 423,31 ⋅ 0,06

∴ T = 25,4   N ⋅ m / comprimento ou rod

Resposta

T = 25,4   N ⋅ m / comprimento ou rod

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