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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 169

Um grande foguete de dois estágios, a combustível líquido, com massa de 30.000   k g , deve ser lançado de uma plataforma no nível do mar. O motor principal queima uma mistura estequiométrica de hidrogênio líquido e oxigênio líquido a uma taxa de 2450   k g / s . O bocal de empuxo tem um diâmetro de saída de 2,6   m . Os gases de combustão saem a 2270   m / s e a pressão absoluta no plano de saída do bocal é 66   k P a . Calcule a aceleração do foguete ao deixar o solo. Obtenha uma expressão para a velocidade como uma função do tempo, desprezando a resistência do ar.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema y , temos:

F S y + F B y - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S y + F B y - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Então:

P e - P a t m A e - m g - a r y ⋅ m = - v e ⋅ m ˙

a r y = 1 m v e ⋅ m ˙ + P e - P a t m A e - g

Passo 3

Calcule a aceleração do foguete ao deixar o solo.

m = 30000   k g ;

v e = 2270   m / s ;

m ˙ = 2450   k g / s ;

P e = 66 x 10 3 P a ;

P a t m = 101 x 10 3   P a ;

A e = π D 2 4 = 5,31   m 2 ;

g = 9,8   m / s 2 ;

Temos:

a r y = 1 30000 2270 ⋅ 2450 + 66 - 101 x 10 3 ⋅ 5,31 - 9,8 = 169,4   m / s 2

Passo 4

Como a r y = d u d t e m = m 0 - m ˙ t :

d u d t = 1 m 0 - m ˙ t v e ⋅ m ˙ + P e - P a t m A e - g

Assim:

d u = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t + P e - P a t m A e m 0 - m ˙ t - g   d t

∫ 0 u d u = ∫ 0 t v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t + P e - P a t m A e m 0 - m ˙ t - g d t

Integrando:

u = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t + P e - P a t m A e m ˙ ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t - g t

u = v e + P e - P a t m A e m ˙ ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t - g t

Resposta

a r y = 169,4   m / s 2

u = v e + P e - P a t m A e m ˙ ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t - g t

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