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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 162

Um trenó-foguete acelera do repouso sobre uma pista com resistências do ar e de rolamento desprezíveis. A massa inicial do trenó é m 0 = 600   k g e o foguete contém inicialmente 150   k g de combustível. O motor do foguete queima combustível a uma taxa constante, m ˙ = 15   k g / s . Os gases de combustão saem do bocal do foguete à pressão atmosférica, em um fluxo uniforme e axial, e com velocidade v e = 2900   m / s em relação ao bocal. Determine a velocidade máxima alcançada pelo trenó-foguete. Calcule a aceleração máxima do trenó durante a corrida.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não a resistência nem força de campo, então, F S x = F B x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- a r x ⋅ m = v e ⋅ m ˙

Passo 3

Como - a r x = - d u d t ( m 0 - m ˙ t ) ::

d u d t =   v e ⋅ m ˙ m = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t

Assim:

d u = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t d t

∫ 0 u d u = v e ⋅ m ˙ ∫ 0 t 1 m 0 - m ˙ t d t

Integrando:

u = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t  

Passo 4

A velocidade máxima é obtida quando o combustível é completamente queimado:

t = m m ˙ = 150 15 = 10   s

Agora, apenas substituiremos os dados na equação do Passo 3:

m ˙ = 15   k g / s ;

m 0 = 600   k g ;

v e = 2900   m / s   .

Então:

u = 2900 ⋅ ln ⁡ 600 600 - 15 ⋅ 10 = 834,3   m / s

Passo 5

Sendo:

a = - d u d t = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t

Utilizando os dados do Passo 4:

a = 2900 ⋅ 15 600 - 15 ⋅ 10 = 96,67   m / s 2

Resposta

u = 834,3   m / s

a = 96,67   m / s 2

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