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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 64

As gravidades específicas dos sólidos e fluidos portadores de uma pasta são usualmente conhecidas, mas a gravidade específica da pasta depende da concentração das partículas sólidas. Demonstre que a gravidade específica de uma pasta baseada em água é expressa em termos da gravidade específica do sólido G E s e da concentração de massa das partículas sólidas em suspensão C s , m a s s a pela expressão

G E m = 1 1 + C s , m a s s a 1 G E s - 1

Passo 1

A questão quer que a gente deduza uma fórmula para a gravidade específica G E m de uma mistura (sólido e água). Vamos começar a dedução a partir da fórmula de gravidade específica G E m presente no livro (equação 2 - 2 ). No entanto, podemos substituir a densidade ρ da fórmula pela densidade ρ m da mistura.

G E = ρ ρ H 2 O       ⟹       G E m = ρ m ρ H 2 O

onde ρ H 2 O é a densidade da água.

Passo 2

A densidade da mistura ρ m pode ser calculada como a massa da mistura m m dividida pelo volume da mistura V m .

ρ m = m m V m

Já a densidade da água ρ H 2 O pode ser encontrada a partir da fórmula da gravidade específica do sólido G E s .

G E s = ρ s ρ H 2 O       ⟹       ρ H 2 O = ρ s G E s

Passo 3

Substituindo as fórmulas de densidade na fórmula de G E m , achamos:

G E m = ρ m ρ H 2 O       ⟹       G E m = m m V m ρ s G E s       ⟹       G E m = m m V m ⋅ G E s ρ s

A densidade do sólido é igual à massa do sólido m s dividida pelo volume do sólido V s . Subsituindo essa informação na fórmula acima, encontramos:

G E m = m m V m ⋅ G E s ρ s       ⟹         G E m = m m V m ⋅ G E s m s V s       ⟹         G E m = 1 m s m m ⏟ C s , m a s s a ⋅ G E s ⋅ V s V m

G E m = G E s C s , m a s s a ⋅ V s V m

No próximo passo descobriremos como calcular V s V m .

Passo 4

O primeiro passo para calcular a razão de volumes V s V m é lembrar que o volume da mistura V m é igual ao volume da água V H 2 O mais o volume do sólido V s .

V s V m = V s V H 2 O + V s

Além disso, podemos encontrar os volumes V H 2 O e V s a partir da fórmula das densidades ρ H 2 O e ρ s .

ρ H 2 O = m H 2 O V H 2 O         ⟹       V H 2 O = m H 2 O ρ H 2 O  

ρ s = m s V s         ⟹       V s = m s ρ s

Substituindo essas informações na fórmula de V s V m :

V s V m = V s V H 2 O + V s       ⟹       V s V m = m s ρ s m H 2 O ρ H 2 O + m s ρ s

Multiplicando o numerador e o denominador por ρ s :

V s V m = m s ρ s ⋅ ρ s m H 2 O ρ H 2 O ⋅ ρ s + m s ρ s ⋅ ρ s       ⟹       V s V m = m s ρ s ⋅ ρ s m H 2 O ⋅ G E s + m s

Passo 5

Para seguir em frente, precisamos lembrar que a massa de água m H 2 O é a massa da mistura m m menos a massa de sólido m s .

V s V m = m s m H 2 O ⋅ G E s + m s       ⟹       V s V m = m s m m - m s ⋅ G E s + m s

Dividindo o numerador e o denominador por m s :

V s V m = m s ⋅ 1 m s m m - m s m s ⋅ G E s + m s m s       ⟹       V s V m = 1 m m m s ⏟ 1 C s , m a s s a - m s m s ⋅ G E s + 1

V s V m = 1 1 C s , m a s s a - 1 ⋅ G E s + 1

Multiplicando o numerador e o denominador por C s , m a s s a :

V s V m = C s , m a s s a 1 - C s , m a s s a ⋅ G E s + C s , m a s s a

Passo 6

Substituindo a fórmula acima na fórmula de G E m :

G E m = G E s C s , m a s s a ⋅ V s V m       ⟹       G E m = G E s C s , m a s s a ⋅ C s , m a s s a 1 - C s , m a s s a ⋅ G E s + C s , m a s s a

G E m = G E s G E s - C s , m a s s a ⋅ G E s + C s , m a s s a

Dividindo o numerador e o denominador por G E s :

G E m = G E s ⋅ 1 G E s G E s ⋅ 1 G E s - C s , m a s s a ⋅ G E s ⋅ 1 G E s + C s , m a s s a ⋅ 1 G E s

G E m = 1 1 - C s , m a s s a + C s , m a s s a ⋅ 1 G E s

Colocando C s , m a s s a em evidência:

G E m = 1 1 + C s , m a s s a ⋅ 1 G E s - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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