Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 114
A haste uniforme da Figura P2.114 está articulada no ponto B na linha d’água e está em equilíbrio estático, como mostra a figura, quando são presos 2 kg de chumbo (d = 11,4) na sua extremidade. Qual é a densidade do material da haste? Qual é a peculiaridade do ângulo de equilíbrio theta = 30°?
Passo 1
E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!
A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.
Pra entendermos a questão, vamos dar uma olhada na figura do enunciado.
Como podemos ver, temos uma haste de diâmetro e altura articulada no ponto , em equilíbrio estático, quando são presos de chumbo (de densidade ), fazendo com que o ponto faça um ângulo de com relação à superfície livre da água.
O enunciado pede que a gente calcule a densidade do material da haste. Pra isso, nós precisamos entender que o empuxo total será uma contribuição tanto do empuxo da haste () quanto do empuxo do corpo de chumbo ().
Quando tivermos esses valores, basta que a gente volte um pouco no conhecimento das seções anteriores e façamos um balanço de momento com relação a .
Nos próximos passos iremos calcular esses dois empuxos e fazer o balanço de momento. Vem comigo pra gente resolver a questão juntos!
Passo 2
Primeiro, iremos calcular o empuxo da haste . Devemos lembrar que pelas leis de Arquimedes, como a haste está submersa seu empuxo será dado pela equação:
Sendo o peso específico da água a temperatura ambiente e o volume da haste cilíndrica inteira, pois ela encontra-se completamente submersa.
Logo, teremos:
Depois, devemos calcular o empuxo do corpo de chumbo. Para isso vamos lembrar que o peso do chumbo pode ser calculado a partir da equação:
Sendo o volume do corpo de chumbo submerso.
Além disso, o empuxo do corpo de chumbo pode ser dado por:
Como sabemos que , basta substituirmos na equação acima:
Passo 3
Pra finalizar a questão, iremos realizar um balanço de momento com relação a B. Para que o corpo esteja em equilíbrio, esse balanço deve ser igual a zero:
Sendo e , respectivamente, as linhas de ações doas forças peso/empuxo da haste e do chumbo até a força .
Bem, como ambos os corpos são uniformes, a distância deles será basicamente a distância do centro da haste e do centro do corpo de chumbo até o ponto B. Note que teremos que usar uma relação trigonométrica utilizando o ângulo de .
Logo, e.
Agora podemos voltar ao nosso balanço:
E antes da gente se despedir, quero que você preste atenção num negocinho. Tá vendo que, pelo nosso balanço, os dois termos dependendo do ângulo se cancelam? Isso quer dizer que esse sistema vai ser estável pra qualquer ângulo de inclinação.
Pronto, matamos o problema juntos!
Resposta
A densidade do material da haste é , e ela é estável para qualquer ângulo de inclinação