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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 37

Uma importante equação na teoria de vibrações é:

m d 2 x d t 2 + c d x d t + k x = f ( t )

Em que m (kg) é a massa e x (m) é a posição no instante de tempo t (s). Para uma equação dimensionalmente consistente, quais são as dimensões de c, k e f ? Quais seriam as unidades convenientes para c, k e f nos sistemas SI e GB?

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Sabemos que as dimensões do primeiro termo é:

m d 2 x d t 2 →   M L t 2

Já para o segundo termo, as dimensões são:

c d x d t = M L t 2

c × L t = M L t 2

c = M t

Para o terceiro termo:

k x = M L t 2

k   × L = M L t 2

k = M t 2

Para a função:

f = M L t 2

Passo 2

Note que c é um termo de atrito úmido (viscoso), k é uma constante de primavera, e f é uma função de força. Estes são mais tipicamente expressos usando F (força) em vez de M (massa). Da 2ª lei de Newton:

F = M L t 2   o u   M = F t 2 L

Logo:

c = F t 2 L t = F t L

k = F t 2 L t 2 = F L

f = F

Portanto, unidades adequadas para c, k e f no SI e no GB são, respectivamente:

c → N s m ; l b f   s f t

k → N m ; l b f f t

f → N ; l b f

Resposta

c = M t ; k = M t 2 ; f = M L t 2

As unidades adequadas para c, k e f no SI e no GB são, respectivamente:

c → N s m ; l b f   s f t

k → N m ; l b f f t

f → N ; l b f

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