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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 8

8 – A intensidade emitida de um material não condutor pode ser aproximada como segue:

I e = I n                                     0 ≤ θ ≤ π 3

I e = I n 3 - 6 θ π                                 π 3 ≤ θ ≤ π 2

Onde, In = 500 W/m2.sr. Determine a potência total emitida da superfície. Compare a potência emitida com a aquela de superfície difusiva com intensidade In.

Passo 1

Para começarmos, vamos pegar primeiramente a expressão para o cálculo da potência total emitida que pode ser calculada pela eq. 12.13 do Incropera, que é a seguinte:

E = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 I e c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) d θ d Φ

Passo 2

Como você pode ver no enunciado, temos duas expressões para a intensidade Ie, que é dividida em dois intervalos para o ângulo θ. Assim, vamos ter que dividir a integral em relação ao ângulo θ em duas, nos intervalos dados no enunciado.

Dividindo os intervalos de θ:

E = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 I n c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) d θ d Φ + ∫ 0 2 π ∫ π / 3 π / 2 I n 3 - 6 θ π c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) d θ d Φ

Passo 3

Vamos resolver as integrais:

Resolvendo a primeira integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 I n c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) d θ d Φ = I n ∫ 0 2 π d Φ ∫ 0 π / 3 c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) d θ

∫ 0 2 π d Φ = Φ | 2 π 0 = 2 π

∫ 0 π / 3 c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) d θ = s e n 2 θ 2 π / 3 0 = s e n 2 π / 3 2 = 0,375

A integral definida acima foi calculada por um programa computacional.

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 I n c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) d θ d Φ = 2 π 0,375 I n = 2,36 I n

Passo 4

Analogamente para a outra integral:

∫ 0 2 π ∫ π / 3 π / 2 I n 3 - 60 π c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) d θ d Φ = I n ∫ 0 2 π d Φ ∫ π / 3 π / 2 3 - 6 θ π c o s ⁡ ( θ ) s e n ( θ ) d θ

∫ 0 2 π d Φ = Φ | 2 π 0 = 2 π

∫ π 3 π 2 3 - 6 θ π cos ⁡ θ s e n θ d θ = 3 ∫ π 3 π 2 cos ⁡ θ s e n θ d θ - 6 π ∫ π 3 π 2 θ cos ⁡ θ s e n θ d θ

∫ π 3 π 2 cos ⁡ θ s e n θ d θ = s e n 2 θ 2 π / 2 π / 3 = s e n 2 π / 2 - s e n 2 π / 3 2 = 0,125

∫ π 3 π 2 θ cos ⁡ θ s e n θ d θ = - 1 4 θ cos ⁡ 2 θ + s e n 2 θ 8 π / 2 π / 3 = 0,154

A integral definida acima foi calculada por um programa computacional.

Assim,

I n ∫ 0 2 π d Φ ∫ π 3 π 2 3 - 6 θ π cos ⁡ θ s e n θ d θ = 2 π 3 ∙ 0,125 - 6 π ∙ 0,154 I n = 0,508 I n

Passo 5

Vamos calcular a potência total, que será a soma dos resultados obtidos para as integrais anteriores

E = 2,36 I n + 0,508 I n = 2,868 I n

E = 2,868 500 W m 2

E = 1432,2 W m 2

Para uma superfície difusiva a expressão para o cálculo da potência total emitida é dada por:

E = π I e = π I n

E = π 500 W m 2

E = 1570,8 W m 2

Em comparação o valor da potência para o material não condutor é cerca de 9% menor do que para o um material com superfície difusiva.

Resposta

E = 1432,2 W m 2

Superfície Difusiva:

E = 1570,8 W m 2

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