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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 34

O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido de óleo castor a 20°C entre placas paralelas, com a placa superior em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere U = 1,5 m/s e a = 5 mm. Determine o gradiente de pressão para o qual não há vazão resultante na direção x. Trace um gráfico das distribuições esperadas de velocidade e de tensão de cisalhamento em uma seção do canal para este escoamento. Para o caso em que u = U e y/a = 0,5, trace as distribuições esperadas de velocidade e de tensão de cisalhamento no canal. Comente sobre as características dos gráficos

Passo 1

Sabendo que a equação de vazão para placas planas paralelas é:

Q l = U a 2 - 1 12 μ ∂ p ∂ x a 3

Tendo os valores de U = 1,5 m / s , a = 5 m m e para óleo castor a 20°C μ = 1 k g / m . s , sabendo que a vazão deve ser zero, temos que:

0 = 1,5.0,005 2 - 1 12.1 ∂ p ∂ x 0,005 3

10,4 X 10 - 9 ∂ p ∂ x = 0,00375

∂ p ∂ x = 360576,9   P a / m

O gradiente de pressão para o qual não há vazão resultante é:

∂ p ∂ x = 360,6   k P a / m

Passo 2

Usando as equações de velocidade e de tensão de cisalhamento pode-se gerar os gráficos das distribuições esperadas para uma seção do canal para este escoamento.

u ( y ) = U y a + a 2 2 μ ∂ p ∂ x y a 2 - y a

u ( y ) = 1,5 y 0,005 + 0,005 2 2.1 360576,9 y 0,005 2 - y 0,005

u ( y ) = 1,5 y 0,005 + 4,51 y 0,005 2 - y 0,005

τ = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x 2 y a 2 - 1 a

τ = 1 1,5 0,005 + 0,005 2 2 360576,9 2 y 0,005 2 - 1 0,005

τ = 300 + 4,51 2 y 0,005 2 - 1 0,005

Passo 3

Para u = U e y = a / 2 é necessário recalcular o gradiente de pressão, portanto:

u = U y a + a 2 2 μ ∂ p ∂ x y a 2 - y a

U = U a a 2 + a 2 2 μ ∂ p ∂ x 1 a a 2 2 - 1 a a 2

U = U 2 + a 2 2 μ ∂ p ∂ x 1 2 2 - 1 2

U 2 = - 1 4 a 2 2 μ ∂ p ∂ x

- 4 U μ a 2 = ∂ p ∂ x

∂ p ∂ x = - 4.1,5 . 1 0,005 2

∂ p ∂ x = - 240000 k P a / m

Logo, o novo gradiente de pressão é:

∂ p ∂ x = - 240 k P a / m

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