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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 39

A força de fixação de uma peça durante uma operação de torneamento mecânico é causada por óleo de alta pressão suprido por uma bomba. O óleo vaza axialmente através de um espaço anular com diâmetro D, comprimento L e folga radial a. O membro interno do anel gira com velocidade angular ω. Potência é requerida tanto para bombear o óleo quanto para vencer a dissipação viscosa no espaço anular. Desenvolva expressões em termos da geometria especificada para a potência da bomba Pp e para a potência de dissipação viscosa Pv. Mostre que a potência total requerida é minimizada quando a folga radial, a, é escolhida de forma que Pv = 3Pp.

Passo 1

Assumindo que D ≫ a , pode-se utilizar as equações para escoamento entre placas planas.

A potência da bomba pode ser descrita por:

P p = Q . ∆ p

Para o cálculo da vazão deve-se utilizar a eq 8.6 devido a diferença de pressão:

Q l = a 3 ∆ p 12 μ L

Sabendo que l = π D , temos:

Q = π D a 3 ∆ p 12 μ L

Substituindo em P p :

P p = π D a 3 ∆ p 12 μ L . ∆ p

Logo, a potência da bomba é:

P p = π D a 3 ∆ p 2 12 μ L

Passo 2

A potência de dissipação viscosa é determinada por:

P V = T ω

Lembrando que T = τ 2 π R L R e τ = μ . V / a , substituindo temos:

P V = τ 2 π R L R ω

P V = μ V a 2 π D 2 L D 2 ω

P V = μ ω a D 2 π D L D 2 ω

Portanto, a potência de dissipação viscosa é:

P V = π μ ω 2 D 3 L 4 a

Passo 3

A potencia total requerida pode ser calculada pela a equação:

P T = P V + P P

P T = π μ ω 2 D 3 L 4 a + π D a 3 ∆ p 2 12 μ L

Para minimizar a potência requerida pode-se considerar que d P T / d a =0, consequentemente derivando as equações, temos que:

d P T d a = - π μ ω 2 D 3 L 4 a 2 + π D a 2 ∆ p 2 4 μ L = 0

Ou seja:

d P T d a = - 1 a P V + 3 a P P = 0

- P V + 3 P P = 0

Portanto, a potência total requerida é minimizada quando:

3 P P = P V

Resposta

P p = π D a 3 ∆ p 2 12 μ L           ;         P V = π μ ω 2 D 3 L 4 a       ;     3 P P = P V

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