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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 94

Uma janela de quartzo com espessura L serve como visor em um forno usado para temperar aço. A superfície interna x = 0 da janela é irradiada com um fluxo de calor uniforme q o ' ' devido à emissão dos gases quentes no interior do forno. Pode-se supor que uma fração, b , dessa radiação é absorvida na superfície interna, enquanto a radiação restante é parcialmente absorvida ao atravessar o quartzo. A geração de calor volumétrica devido à essa absorção pode ser descrita por uma expressão com a forma

q ˙ x = 1 - β q e ' ' α e - α x

na qual α é o coeficiente de absorção do quartzo. Há transferência de calor por convecção na superfície externa x = L da janela para o ar ambiente, a T ∞ , e ela é caracterizada por um coeficiente convectivo h . A convecção e a emissão de radiação na superfície interna podem ser desprezados, assim como a emissão de radiação da superfície externa. Determine a distribuição de temperaturas no quartzo, representando o seu resultado em termos dos parâmetros definidos anteriormente.

Passo 1

Fala Galera!!

Nessa questão queremos encontra a distribuição de temperaturas no quartzo T x em termos de x , L , k , h , α , β , q ˙ e e T ∞ . Podemos fazer o seguinte esquema que representa a janela de quartzo com espessura L descria no problema acima.

PRESSUPOSTOS:

(1) Condições em estado estacionário;

(2) Condução unidimensional;

(3) Emissão e convecção desprezíveis de radiação na superfície interna x = 0 e emissão desprezível da superfície externa;

(4) Propriedades constantes.

Passo 2

Podemos resolver essa questão a partir da forma apropriada da equação de difusão de calor que é dada pela equação 3.44. Assim temos:

d d x d T d x + q ˙ k = 0

Podemos substituir q ˙ por q ˙ x que foi fornecido no enunciado. Substituindo, temos:

d d x d T d x + q ˙ x k = 0

d d x d T d x + 1 - β q e ' ' α e - α x k = 0

d d x d T d x + α 1 - β q e ' ' k e - α x = 0

d d x d T d x = - α 1 - β q e ' ' k e - α x

Separando as variáveis e integrando, temos:

d d T d x = - α 1 - β q e ' ' k e - α x d x

d T d x = 1 - β q e ' ' k e - α x + C 1

Podemos separa as variáveis mais uma vez e integrar para encontrar a forma geral da distribuição de temperatura no quartzo. Assim temos:

d T = 1 - β q e ' ' k e - α x + C 1 d x

T x = - 1 - β q e ' ' α k e - α x + C 1 x + C 2

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar C 1 e C 2 . Assim, quando

x = 0

temos que:

- k d T d x = β q e ' '

e quando

x = L

temos que

- k d T d x = h T L - T ∞

Passo 4

Aplicando a primeira condição em x = 0 , temos:

- k d T d x = β q e ' '

- k 1 - β q e ' ' k e - α 0 + C 1 = β q e ' '

1 - β q e ' ' k + C 1 = - β q e ' ' k

C 1 = - β q e ' ' k - 1 - β q e ' ' k

C 1 = - q e ' ' k

Passo 5

Aplicando a segunda condição em x = L , temos:

- k d T d x = h T L - T ∞

- k 1 - β q e ' ' k e - α L + C 1 = h - 1 - β q e ' ' α k e - α L + C 1 L + C 2 - T ∞

- 1 - β q e ' ' e - α L + q e ' ' = h - 1 - β q e ' ' α k e - α L - q e ' ' L k + C 2 - T ∞

q e ' ' h 1 - 1 - β e - α L = - 1 - β q e ' ' α k e - α L - q e ' ' L k + C 2 - T ∞

C 2 = q e ' ' h 1 - 1 - β e - α L + q e ' ' L k + 1 - β q e ' ' α k e - α L + T ∞

Passo 6

Substituindo C 1 e C 2 na equação da distribuição de temperatura no quartzo, temos:

T x = - 1 - β q e ' ' α k e - α x - q e ' ' k x + q e ' ' h 1 - 1 - β e - α L + q e ' ' L k + 1 - β q e ' ' α k e - α L + T ∞

T x = 1 - β q e ' ' α k e - α L - e - α x + q e ' ' k L - x + q e ' ' h 1 - 1 - β e - α L + T ∞

Portanto, a distribuição de temperatura no quartzo é dada por:

T x = 1 - β q e ' ' α k e - α L - e - α x + q e ' ' k L - x + q e ' ' h 1 - 1 - β e - α L + T ∞

Resposta

T x = 1 - β q e ' ' α k e - α L - e - α x + q e ' ' k L - x + q e ' ' h 1 - 1 - β e - α L + T ∞

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