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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 98

Juntas de alta qualidade podem ser formadas com solda por fricção. Considere a solda por fricção de dois bastões de Inconel com 40   m m de diâmetro. O bastão inferior encontra-se estacionário, enquanto o superior é forçado em um movimento linear de vai e volta caracterizado por um deslocamento horizontal instantâneo, d ( t )   =   a   c o s ( ω t ) , sendo a   =   2   m m e   ω   =   1000   r a d / s . O coeficiente de atrito de deslizamento entre as duas peças é μ   =   0,3 . Determine a força de compressão que deve ser aplicada para aquecer a junta até o ponto de fusão do Inconel em t   =   3   s , partindo de uma temperatura inicial de 20 ° C . Sugestão: A frequência do movimento e a taxa de aquecimento resultante são muito altas. A resposta da temperatura pode ser aproximada como se a taxa de aquecimento fosse constante no tempo, igual ao seu valor médio.

Passo 1

Aqui nós temos o diâmetro e a temperatura inicial de duas barras de Inconel, nas quais suas propriedades vão ser retiradas da Tabela A.1. Além disso, temos também a amplitude, frequência de movimento da haste superior e o coeficiente de fricção.

Com isso, precisamos encontrar a força de compressão necessária para levar a haste ao ponto de fusão em 3 segundos. Então vamos as nossas considerações!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que:

(1) A perda de calor nas superfícies das hastes é desprezível;

(2) As hastes são efetivamente semi-infinitas;

(3) A geração de calor por atrito pode ser tratada como constante no tempo;

(4) As propriedades são constantes.

Nós vamos começar expressando o fluxo de calor por atrito em termos da força compressiva desconhecida, F n .

q ' ' = - F t → ∙ V → A = μ F n V A = μ F n A d d d t = μ F n A a ω   sen ⁡ ω t

Na equação acima, foi utilizado o fato de que a força de atrito sempre se opõe à direção do movimento, então,

F t → ∙ V → = - F t V

O valor médio do fluxo de calor é encontrado através da integração em um período de   sen ⁡ ω t , ou seja, π / ω   :

q s ' ' - = ω π ∫ 0 π ω μ F n a ω A   sen ⁡ ω t d t = - 1 π μ F n a ω A cos ⁡ ω t 0 π ω

q s ' ' - = 2 μ F n a ω π A

Onde,

A = π D 2 2

Porque o calor é conduzido nas duas direções

Passo 3

Podemos encontrar a temperatura da superfície para a distribuição de temperatura em um sólido semi-infinito com fluxo uniforme de calor na superfície. Avaliando em x   =   0 temos:

T s - T i = 2 q s ' ' - α t π 1 2 k

Com T s igual à temperatura de fusão, podemos resolver para q s ' ' - :

q s ' ' - = k T s - T i 2   π α t 1 2

Substituindo os valores,

q s ' ' - = 23,6 W m . K 1665   K - 293   K 2   π 4,49 × 10 - 6 m 2 / s   ×   3 s 1 2

q s ' ' - = 7,82 × 10 6   W / m 2

Então podemos resolver para F n :

F n = q s ' ' - π A 2 μ a ω = 7,82 × 10 6 W m 2 × π × p i   0,04   m 2 / 2 2 × 0,3 × 0,002   m × 1000   r a d / s = 51,4   k N

F n = 51,4   k N

Resposta

F n = 51,4   k N

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