Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 24

Um líquido de viscosidade escoa entre duas placas paralelas infinitas distantes 5 mm, com escoamento laminar. O gradiente de pressões ao longo do escoamento é . Determinar a tensão de cisalhamento na placa superior e a vazão em olume por unidade de profundidade.

Passo 1

Para resolver essa questão precisamos fazer as seguintes considerações:

Escoamento unidirecional ao longo de
Regime permanente
A velocidade só varia o longo de

Se quiser saber os detalhes, abaixo eu explico direitinho cada uma das considerações:

A questão não especifica a orientação das placas, então vamos considerar que as placas são paralelas ao eixo , pois isso vai garantir que o escoamento é unidimensional:

E também vamos assumir que o regime é permanente:

Agora vamos olhar pro nosso escoamento. Como ele é viscoso, ele tem uma distribuição parabólica como mostrada na figura:

Isso demonstra que a velocidade varia ao longo de . A questão afirma que as placas são infinitas, isso nos permite assumir que o escoamento é completamente desenvolvido e por isso não varia ao longo de . Em outras palavras, é função apenas de :

E por fim, como estamos desconsiderando o eixo e a variação de energia potencial gravitacional ao longo de é muito pequena, podemos assumir que a pressão varia apenas no eixo

Passo 2

Com todas as considerações que fizemos a equação de Navier-Stokes se torna:

Mas perceba o seguinte, como a pressão só é função de ; e é função apenas de podemos tornar as derivadas parciais em derivadas totais.

Agora observe o macete da questão: como a pressão só é função de ; e é função apenas de , a igualdade acima só será verdadeira se o resultado das derivações for uma constante.