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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 23

No escoamento de um fluido incompressível entre duas placas fixas infinitas, o diagrama de velocidades é dado por v x = C y ( h - y ) , onde C é uma constante, h é a distência entre as placas e y é uma coordenada perpendicular às placas, com origem em uma delas. Determinar v m v m á x e a vazão em volume por unidade de largura.

Passo 1

Primeiro, encontramos o ponto onde v x é máximo:

d v x d y = 0

C h - 2 C y = 0

y = h 2

E agora encontramos o valor da velocidade máxima:

v m a x = C ⋅ h 2 ⋅ ( h - h 2 )

v m a x = C h 2 4

Passo 2

Para encontrar a velocidade média, basta somar integralmente todas as velocidades e dividir pelo tamanho h .

v m = 1 h ∫ 0 h v x ⋅ d y

v m = 1 h ∫ 0 h C y ( h - y ) ⋅ d y

v m = 1 h ∫ 0 h ( C y h - C y 2 ) ⋅ d y

v m = 1 h C h ⋅ y 2 2 - C y 3 3 0 h

v m = 1 h C h ⋅ h 2 2 - C h 3 3

v m = C h 2 2 - C h 2 3

v m = C h 2 6

Passo 3

A razão entre a máxima é a média é:

v m v m a x = C h 2 6 C h 2 4

v m v m a x = 2 3

Passo 4

A vazão média é calculada multiplicando a velocidade pela área:

Q = v m ⋅ b ⋅ h

Como queremos a vazão por unidade de largura, basta dividir os dois lados por b

Q = v m ⋅ h

Q = C h 3 6

Resposta

v m v m a x = 2 3

Q = C h 3 6

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