Enunciado

Um modelo de avião é construído na escala 1:10. O modelo decola à velocidade de 50 km/h. Desprezando o efeito da viscosidade dinâmica, calcular a velocidade de decolagem do protótipo e a escala de resistência oposta ao movimento. Dado: f F , v , L , ρ , μ , g = 0 .

Passo 1

O primeiro passo é identificar a função representativa, nesse caso, o enunciado já nos forneceu.

f F , v , L , ρ , μ , g = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; v = L T - 1 ; L = L ; μ = M L - 1 T - 1 ; F = M L T - 2 ;

g = L T - 2

Só que, nesse caso, o enunciado nos pediu pra desconsiderar o efeito da viscosidade dinâmica, então, podemos reescrever a função representativa como:

f F , v , L , ρ , g = 0

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 5   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 5 - 3 → m = 2   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ β 1 v β 2 L β 3 F

π 2 = ρ δ 1 v δ 2 L δ 3 g

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ β 1 v β 2 L β 3 F = M L - 3 β 1 L T - 1 β 2 L β 3 M L T - 2

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

β 1 + 1 = 0 → β 1 = - 1

- β 2 - 2 = 0 → β 2 = - 2

- 3 β 1 + β 2 + β 3 + 1 = 0 → - 3 - 1 + - 2 + β 3 + 1 = 0 → β 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 v - 2 L - 2 F → π 1 = F ρ v 2 L 2 → E u = F ρ v 2 L 2 E u l e r

Agora, repetindo o processo para π 2 :

π 2 = ρ δ 1 v δ 2 L δ 3 g = M L - 3 δ 1 L T - 1 δ 2 L δ 3 L T - 2

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

δ 1 + 0 = 0 → δ 1 = 0

- δ 2 - 2 = 0 → δ 2 = - 2

- 3 δ 1 + δ 2 + δ 3 + 1 = 0 → - 3 0 + - 2 + δ 3 + 1 = 0 → δ 3 = 1

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ 0 v - 2 L 1 g → π 2 = L g v 2 → F r = v 2 L g   ( F r o u d e )

Passo 3

Agora que encontramos os grupos dimensionais, sabemos que esses números devem ser iguais entre o modelo e o protótipo, ou seja:

E u m = E u p → F m ρ m v m 2 L m 2 = F p ρ p v p 2 L p 2

F r m = F r p → v m 2 L m g m = v p 2 L p g p

Como o enunciado não nos disse nada a respeito das condições atmosféricas entre o ambiente de teste do modelo e do protótipo, vamos supor que g m = g p = g e ρ m = ρ p = ρ , então, substituindo os valores conhecidos na segunda equação, temos:

50 2 1 g = v p 2 10 g → v p = 158,1   k m / h

Agora, substituindo os valores conhecidos na equação para o número de Euler:

F m ρ 50 2 1 2 = F p ρ 158,1 2 10 2 → F m F p = 0,001 → F m F p = 1 1000

Resposta

v p = 158,1   k m / h

F m F p = 1 1000

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