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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 38

Mostre que a distribuição de escoamento incompressível, em coordenadas cilíndricas,

v r = 0                           v θ = C r n                         v z = 0

em que C é uma constante, (a) satisfaz a equação de Navier-Stokes para apenas dois valores de n. Despreze a gravidade. (b) Sabendo que p = p ( r ) somente, encontre a distribuição de pressão para cada caso, considerando que a pressão em r = R é p 0 . O que pode representar esses dois casos?

Passo 1

Bora lá! Mais uma pela frente, bora atropelar ela!

Partindo da equação de momento para θ que é mais relevante, pois as velocidades em r e z são nulas, teremos:

∂ v θ ∂ t + V ⋅ ∇ v θ + 1 r   v r v θ = - 1 ρ r ∂ p ∂ θ + v ∇ 2 v θ - v θ r 2 + 2 r 2 ∂ v θ ∂ θ

0 + 0 + 0 = 0 + v ∇ 2 v θ - v θ r 2 + 0 = v 1 r ∂ ∂ r r ∂ ∂ r C r n - C r n r 2

v 1 r ∂ ∂ r r n C r n - 1 - C r n - 2 = v C n 2 r n - 2 - C r n - 2 = 0

Colocando C v r n - 2 em evidência:

C v r n - 2 n 2 - 1 = 0

n 2 - 1 = 0

n = ± 1

Ou seja, Navier-Stokes será satisfeito apenas para ± 1 .

Passo 2

Vamos achar as pressões para os dois n’s possíveis! Usando a equação D.5 reduzindo-a para ∂ p / ∂ r = ρ v θ 2 / r , acharemos a pressão por separação de variáveis:

n = 1 → ∫ p 0 p d p = ∫ R r ρ C 2 r 2 r d r → p = p 0 + ρ C 2 2 ( r 2 - R 2 )

n = - 1 → ∫ p 0 p d p = ∫ R r ρ C 2 / r 2 r d r → p = p 0 + ρ C 2 2 1 R 2 - 1 r 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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