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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 50

Considere o seguinte campo de velocidade permanente, bidimensional, incompressível: V → = ( u , v ) = ( a x + b ) i → + ( - a y + c x ) j → . Esse campo de escoamento é irrotacional? Se

for, gere uma expressão para função potencial de velocidade.

Passo 1

Oioi, xentê! Vamos resolver essa questão.

Aqui o nosso problema é determinar se o escoamento é irrotacional e se for, deve-se gerar uma expressão para função potencial.

O escoamento irrotacional é aquele onde as partículas não tem nenhuma rotação resultante e para sabermos isso calculamos a aproximação pela vorticidade ( ζ → ), a qual deve ser próxima de zero.

Passo 2

Quando o escoamento é bidimensional ( x y ) , a componente z deve ser zero. Logo:

ζ → z = ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0

Então okay, temos um escoamento irrotacional. Vamos para a expressão.

Passo 3

Para isso, determinamos as componentes de velocidade em coordenadas cartesianas:

u = ∂ ϕ ∂ x e v = ∂ ϕ ∂ y

Agora integramos a primeira para isolar ϕ :

∂ ϕ = u   d x       ∴       ∫ 1 d ϕ = ∫ a x + b   d x         ∴             ϕ = a x 2 2 + b x + f ( y )

f ( y ) é uma constante, pois foi feita uma integração parcial em relação a x . Assim, podemos diferenciar o resultado em relação a y , gerando a função:

∂ ϕ ∂ y = f ' y = v = - a y + c

Integramos:

f y = - a y 2 2 + c y + C

Combinando as equações das duas componentes, temos:

ϕ = a x 2 - y 2 2 + b x + c y + C

Prontinho!!

Resposta

Sim, ϕ = a x 2 - y 2 2 + b x + c y + C

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